16 Determine o número complexo z tal que 2z+3bar (z)=4-i.z=(4)/(5)+i

Para determinar o número complexo \( z \) que satisfaz a equação \( 2z + 3\bar{z} = 4 - i \), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Escreva \( z \) na forma \( z = a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são números reais.**<br />2. **Calcule \( \bar{z} \), que é o conjugado de \( z \).**<br />3. **Substitua \( z \) e \( \bar{z} \) na equação dada.**<br />4. **Resolva a equação resultante para encontrar \( a \) e \( b \).**<br /><br />Vamos começar:<br /><br />1. Escreva \( z \) na forma \( z = a + bi \):<br /> \[<br /> z = a + bi<br /> \]<br /><br />2. Calcule \( \bar{z} \):<br /> \[<br /> \bar{z} = a - bi<br /> \]<br /><br />3. Substitua \( z \) e \( \bar{z} \) na equação dada:<br /> \[<br /> 2(a + bi) + 3(a - bi) = 4 - i<br /> \]<br /><br />4. Simplifique a expressão:<br /> \[<br /> 2a + 2bi + 3a - 3bi = 4 - i<br /> \]<br /> \[<br /> 5a - bi = 4 - i<br /> \]<br /><br />5. Compare os coeficientes reais e imaginários:<br /> \[<br /> 5a = 4 \quad \text{e} \quad -bi = -i<br /> \]<br /><br />6. Resolva para \( a \) e \( b \):<br /> \[<br /> 5a = 4 \implies a = \frac{4}{5}<br /> \]<br /> \[<br /> -bi = -i \implies b = 1<br /> \]<br /><br />Portanto, o número complexo \( z \) é:<br />\[<br />z = \frac{4}{5} + i<br />\]<br /><br />A resposta correta é:<br />\[<br />z = \frac{4}{5} + i<br />\]