Problema 8: OBS: Coloque apenas um valor numérico como resposta. Por exemplo, se a resposta for 2025, deve-se colocar como resposta : 2025. Não coloque respostas como "Número 2025'' , e outras semelhantes. Calcule a soma das terceiras potências das raízes do polinômio f(x)=x^3+x^2-x+5 Sua resposta

Para calcular a soma das terceiras potências das raízes do polinômio $f(x) = x^3 + x^2 - x + 5$, podemos usar a relação de Newton para somas de potências de raízes.

Sejam $r_1, r_2, r_3$ as raízes do polinômio. Precisamos encontrar $r_1^3 + r_2^3 + r_3^3$.

Pelas relações de Viète, temos:
- $r_1 + r_2 + r_3 = -1$
- $r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = -1$
- $r_1r_2r_3 = -5$

A relação de Newton nos diz que:
$$r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = (r_1 + r_2 + r_3)(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 - r_1r_2 - r_2r_3 - r_3r_1) + 3r_1r_2r_3$$

Primeiro, calculamos $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2$:
$$r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (r_1 + r_2 + r_3)^2 - 2(r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1)$$
$$r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$$

Agora substituímos na fórmula de Newton:
$$r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = (-1)(3 - (-1)) + 3(-5)$$
$$r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = (-1)(4) - 15$$
$$r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = -4 - 15$$
$$r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 = -19$$

Portanto, a soma das terceiras potências das raízes é $-19$.