1.5pts 2.5pts EXERCICE 03 1)Montrer que la fonction F xlongmapsto xln(x^2+3x) est une fonction primitive sur ]0;+infty [ de la fonction f:xlongmapsto ln(x^2+3x)+(2x+3)/(x+3) 2)Déterminer les fonctions primitives de f sur I'intervalle / dans les deux cas suivantes : a-f(x)=x^2(x^3+1)^4etI=R b -f(x)=(x)/(x^2)-1 et l=]1;+infty [

1) Pour montrer que la fonction \( F(x) = x \ln(x^2 + 3x) \) est une primitive de la fonction \( f(x) = \ln(x^2 + 3x) + \frac{2x + 3}{x + 3} \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \), nous devons vérifier que \( F'(x) = f(x) \).<br /><br />Calculons la dérivée de \( F(x) \) :<br />\[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( x \ln(x^2 + 3x) \right) \]<br /><br />Utilisons la règle du produit et la règle de la chaîne :<br />\[ F'(x) = \ln(x^2 + 3x) + x \cdot \frac{1}{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3) \]<br /><br />Simplifions l'expression :<br />\[ F'(x) = \ln(x^2 + 3x) + \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 3x} \]<br /><br />\[ F'(x) = \ln(x^2 + 3x) + 1 + \frac{3x}{x^2 + 3x} \]<br /><br />\[ F'(x) = \ln(x^2 + 3x) + 1 + \frac{3}{x + 3} \]<br /><br />\[ F'(x) = \ln(x^2 + 3x) + \frac{2x + 3}{x + 3} \]<br /><br />Nous avons donc montré que \( F'(x) = f(x) \), ce qui signifie que \( F(x) \) est une primitive de \( f(x) \) sur l'intervalle \( ]0; +\infty[ \).<br /><br />2) a) Pour déterminer les primitives de \( f(x) = x^2(x^3 + 1)^4 \) sur \( \mathbb{R} \), nous devons intégrer \( f(x) \) par rapport à \( x \).<br /><br />\[ \int x^2(x^3 + 1)^4 \, dx \]<br /><br />Utilisons un changement de variable en posant \( u = x^3 + 1 \), alors \( du = 3x^2 \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{3x^2} \).<br /><br />\[ \int x^2(x^3 + 1)^4 \, dx = \int \frac{1}{3} u^4 \, du \]<br /><br />\[ = \frac{1}{3} \int u^4 \, du \]<br /><br />\[ = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C \]<br /><br />\[ = \frac{u^5}{15} + C \]<br /><br />\[ = \frac{(x^3 + 1)^5}{15} + C \]<br /><br />Donc, les primitives de \( f(x) = x^2(x^3 + 1)^4 \) sur \( \mathbb{R} \) sont \( F(x) = \frac{(x^3 + 1)^5}{15} + C \), où \( C \) est une constante d'intégration.<br /><br />b) Pour déterminer les primitives de \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \) sur l'intervalle \( ]1; +\infty[ \), nous devons intégrer \( f(x) \) par rapport à \( x \).<br /><br />\[ \int \frac{x}{x^2 - 1} \, dx \]<br /><br />Utilisons un changement de variable en posant \( u = x^2 - 1 \), alors \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2x} \).<br /><br />\[ \int \frac{x}{x^2 - 1} \, dx = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} \, du \]<br /><br />\[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du \]<br /><br />\[ = \frac{1}{2} \ln|u| + C \]<br /><br />\[ = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \]<br /><br />Donc, les primitives de \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 1} \) sur l'intervalle \( ]1; +\infty[ \) sont \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 - 1| + C \), où \( C \)