Determine o valor da integral a seguir: int _(0)^(pi )/(2)(senx)/((2+cosx)^4)dx

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos fazer a substituição \( u = 2 + \cos(x) \). Então, \( du = -\sin(x) \, dx \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \).<br /><br />Agora, podemos reescrever a integral em termos de \( u \):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)}{(2 + \cos(x))^4} \, dx = \int_{2}^{1} \frac{-du}{u^4}<br />\]<br /><br />Podemos simplificar a integral:<br /><br />\[<br />\int_{2}^{1} \frac{-du}{u^4} = \int_{1}^{2} \frac{du}{u^4}<br />\]<br /><br />Podemos reescrever a integral como uma soma de termos:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \frac{du}{u^4} = \int_{1}^{2} u^{-4} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos usar a fórmula da integral de uma função potencial:<br /><br />\[<br />\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C<br />\]<br /><br />Aplicando essa fórmula, temos:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} u^{-4} \, du = \left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{2}<br />\]<br /><br />Agora, podemos avaliar a integral nos limites:<br /><br />\[<br />\left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^{-3}}{-3} - \frac{1^{-3}}{-3} \right) = \left( \frac{-1/8}{-3} - \frac{-1}{-3} \right) = \left( \frac{1/24} - \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{1}{24} - \frac{8}{24} \right) = \frac{-7}{24}<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral é \( \frac{-7}{24} \).