1. (4,0)Esboce a imagem da curva gamma (t)=(c^tcos(t)cdot e^tsin(t))comtgeqslant 0 Determine a equação da reta tangente a curva para t=pi /2 Para finalizar defina outra curva 3 ondc Im(gamma )=Im(beta ) c com vctores vclocidadcs diferentes . Justifique suas respostas c interprete geometricamente.

Para determinar a equação da reta tangente à curva para \( t = \frac{\pi}{2} \), precisamos calcular a derivada da função \( \gamma(t) \) em relação a \( t \) e avaliar essa derivada em \( t = \frac{\pi}{2} \).<br /><br />Dada a função \( \gamma(t) = e^t \sin(t) \cos(t) \), podemos calcular a derivada usando a regra do produto e a regra da cadeia:<br /><br />\[ \gamma'(t) = e^t \sin(t) \cos'(t) + e^t \cos(t) \sin'(t) \]<br /><br />\[ \gamma'(t) = e^t \sin(t) (-\sin(t)) + e^t \cos(t) \cos(t) \]<br /><br />\[ \gamma'(t) = -e^t \sin^2(t) + e^t \cos^2(t) \]<br /><br />Agora, podemos avaliar essa derivada em \( t = \frac{\pi}{2} \):<br /><br />\[ \gamma'(\frac{\pi}{2}) = -e^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(\frac{\pi}{2}) + e^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(\frac{\pi}{2}) \]<br /><br />\[ \gamma'(\frac{\pi}{2}) = -e^{\frac{\pi}{2}} (1) + e^{\frac{\pi}{2}} (0) \]<br /><br />\[ \gamma'(\frac{\pi}{2}) = -e^{\frac{\pi}{2}} \]<br /><br />Agora, podemos usar o ponto \( (\frac{\pi}{2}, \gamma(\frac{\pi}{2})) \) e a derivada para escrever a equação da reta tangente:<br /><br />\[ y - \gamma(\frac{\pi}{2}) = \gamma'(\frac{\pi}{2})(x - \frac{\pi}{2}) \]<br /><br />\[ y - e^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) = -e^{\frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \]<br /><br />\[ y - e^{\frac{\pi}{2}} = -e^{\frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \]<br /><br />\[ y = -e^{\frac{\pi}{2}} x + e^{\frac{\pi}{2}} \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} \]<br /><br />\[ y = -e^{\frac{\pi}{2}} x + \frac{\pi}{2} e^{\frac{\pi}{2}} - e^{\frac{\pi}{2}} \]<br /><br />Portanto, a equação da reta tangente à curva para \( t = \frac{\pi}{2} \) é \( y = -e^{\frac{\pi}{2}} x + \frac{\pi}{2} e^{\frac{\pi}{2}} - e^{\frac{\pi}{2}} \).<br /><br />Para a segunda parte da pergunta, precisamos encontrar outra curva \( \beta \) tal que \( \text{Im}(\gamma) = \text{Im}(\beta) \) e que tenha vetores velocidade diferentes. Uma maneira de fazer isso é considerar uma curva que tenha a mesma imagem complexa que \( \gamma(t) \), mas com uma forma diferente. Por exemplo, podemos considerar a curva \( \beta(t) = e^t \cos(t) \). Vamos calcular a derivada dessa curva:<br /><br />\[ \beta'(t) = e^t \cos(t) - e^t \sin(t) \]<br /><br />Agora, podemos avaliar essa derivada em \( t = \frac{\pi}{2} \):<br /><br />\[ \beta'(\frac{\pi}{2}) = e^{\frac{\pi}{2}} \cos(\frac{\pi}{2}) - e^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{\pi}{2}) \]<br /><br />\[ \beta'(\frac{\pi}{2}) = e^{\frac{\pi}{2}} (0) - e^{\frac{\pi}{2}} (1) \]<br /><br />\[ \beta'(\frac{\pi}{2}) = -e^{\frac{\pi}{2}} \]<br /><br />Podemos ver que a derivada da curva \( \beta(t) \) em \( t = \frac{\pi}{2} \) é diferente da derivada da curva \( \gamma(t) \) em \( t = \frac{\pi}{2} \). Portanto, a curva \( \beta(t) = e^t