Questão id: 91574 A soma infinita da progressão geométrica (P.G.):(x,x^3,x^5,x^7,ldots ) (4)/(15) Nessas condições a razão da PGé Dado: Para calcular a soma dos infinitos termos de uma P.G. utilize a fórmula , em que q é a razão, 0lt qlt 1 ,e a_(1) e primeiro termo da P.G.. S_(infty )=(a_(1))/((1-q)) Alternativas A -(1)/(4) B -(1)/(16) C (1)/(16) D (1)/(4)

Para calcular a soma infinita da progressão geométrica (P.G.) dada por $(x, x^3, x^5, x^7, \ldots)$, utilizamos a fórmula:<br /><br />\[ S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - q} \]<br /><br />onde $a_1$ é o primeiro termo da P.G. e $q$ é a razão.<br /><br />No caso em questão, o primeiro termo $a_1$ é $x$ e a razão $q$ é $x^2$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ S_{\infty} = \frac{x}{1 - x^2} \]<br /><br />Para que a soma infinita seja finita, a razão $q$ deve estar no intervalo $0 < q < 1$. Portanto, precisamos que $0 < x^2 < 1$, o que implica que $0 < |x| < 1$.<br /><br />Agora, vamos calcular a soma infinita para as alternativas fornecidas:<br /><br />A) $-\frac{1}{4}$: Para que essa seja a soma infinita, precisamos que $\frac{x}{1 - x^2} = -\frac{1}{4}$. Resolvendo essa equação, encontramos que $x = -\frac{1}{2}$ ou $x = \frac{1}{2}$. No entanto, apenas $x = \frac{1}{2}$ satisfaz a condição $0 < |x| < 1$.<br /><br />B) $-\frac{1}{16}$: Para que essa seja a soma infinita, precisamos que $\frac{x}{1 - x^2} = -\frac{1}{16}$. Resolvendo essa equação, encontramos que $x = -\frac{1}{4}$ ou $x = \frac{1}{4}$. No entanto, apenas $x = \frac{1}{4}$ satisfaz a condição $0 < |x| < 1$.<br /><br />C) $\frac{1}{16}$: Para que essa seja a soma infinita, precisamos que $\frac{x}{1 - x^2} = \frac{1}{16}$. Resolvendo essa equação, encontramos que $x = \frac{1}{4}$ ou $x = -\frac{1}{4}$. No entanto, apenas $x = \frac{1}{4}$ satisfaz a condição $0 < |x| < 1$.<br /><br />D) $\frac{1}{4}$: Para que essa seja a soma infinita, precisamos que $\frac{x}{1 - x^2} = \frac{1}{4}$. Resolvendo essa equação, encontramos que $x = \frac{1}{2}$ ou $x = -\frac{1}{2}$. No entanto, apenas $x = \frac{1}{2}$ satisfaz a condição $0 < |x| < 1$.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a alternativa C) $\frac{1}{16}$.