Uma prancha de 10 m está apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, sua base está a 2 m da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 0,5m/s, com que rapidez estará crescendo o ângulo agudo que a prancha faz com o solo? (1.0 ponto)

Para resolver esse problema, podemos usar a trigonometria e a relação entre as dimensões da prancha e o ângulo que ela faz com o solo.<br /><br />Vamos chamar o ângulo agudo que a prancha faz com o solo de θ. Podemos usar a tangente desse ângulo, que é definida como a razão entre o cateto oposto (a distância da base da prancha até a parede) e o cateto adjacente (a metade da prancha).<br /><br />A fórmula para a tangente de θ é:<br /><br />tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente<br /><br />No instante inicial, a base da prancha está a 2 m da parede, então o cateto oposto é 2 m. A metade da prancha é 5 m, então o cateto adjacente é 5 m.<br /><br />tan(θ) = 2 m / 5 m = 0,4<br /><br />Agora, vamos calcular a taxa de mudança do ângulo θ em relação ao tempo. Podemos usar a regra da cadeia para derivar a tangente em relação ao tempo:<br /><br />dθ/dt = (d/dt) (tan(θ))<br /><br />Usando a fórmula da derivada da tangente, temos:<br /><br />dθ/dt = (1 / (cos(θ))^2) * (dθ/dt) * (cos(θ))^2<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />dθ/dt = (1 / cos(θ)^2) * (dθ/dt) * cos(θ)^2<br /><br />dθ/dt = dθ/dt<br /><br />Como podemos ver, a taxa de mudança do ângulo θ em relação ao tempo é igual a si mesma. Portanto, a rapidez com que o ângulo agudo que a prancha faz com o solo está crescendo é de 0,5 rad/s.