EXEMPLO 3 Expresse, como uma integral dupla e depois como uma integral iterada, a medida do volume do sólido acima do plano xy , limitado pelo para- bolóide elíptico z=x^2+4y^2 e pelo cilindro x^2+4y^2=4 Calcule a integral iterada para encontrar o volume do sólido.

Para calcular o volume do sólido acima do plano xy, limitado pelo parabolóide elíptico \(z = x^2 + 4y^2\) e pelo cilindro \(x^2 + 4y^2 = 4\), podemos usar a integral dupla e a integral iterada.<br /><br />Primeiro, vamos expressar a medida do volume do sólido como uma integral dupla. Para isso, precisamos determinar os limites de integração. Observando a região, podemos ver que o parabolóide elíptico intercepta o eixo z no ponto (0,0,0) e o cilindro intercepta o eixo z no ponto (0,0,2). Portanto, os limites de integração para z serão de 0 a \(x^2 + 4y^2\). Para x e y, os limites de integração serão de -2 a 2, pois o cilindro tem raio 2.<br /><br />Assim, a integral dupla para calcular o volume do sólido é:<br /><br />\[V = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2 + 4y^2} dz \, dy \, dx\]<br /><br />Agora, vamos calcular a integral iterada para encontrar o volume do sólido. Para isso, primeiro integramos em y e depois em x.<br /><br />Integrando em y, temos:<br /><br />\[\int_{0}^{x^2} dy = x^2\]<br /><br />Agora, integramos em x:<br /><br />\[\int_{-2}^{2} x^2 \, dx = \frac{4\pi}{3}\]<br /><br />Portanto, o volume do sólido é \(\frac{4\pi}{3}\).