Calcule a seguinte integral: int sen^4(x)dx A. (1)/(4)sen^3(x)cos(x)-(3)/(8)x+(3)/(16)sen(2x)+C B (-1)/(4)sen^3(x)cos(x)+(1)/(8)x+(1)/(16)sen(2x)+C c (-1)/(4)sen^3(x)cos(x)+(3)/(8)x-(3)/(16)sen(2x)+C D. (-1)/(4)sen^3(x)cos(x) E (-1)/(4)sen^3(x)cos(x)-(3)/(8)x+(3)/(16)sen(2x)+C

Para calcular a integral $\int \sin^4(x)dx$, podemos usar a fórmula de redução de potência. Vamos reduzir o expoente de $\sin(x)$ para 2:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int (\sin^2(x))^2 dx$<br /><br />Usando a identidade $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 dx$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int \sin^4dxint \frac{(1 - \cos(2x))^2}{4} dx$<br /><br />Expansando o quadrado, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} dx$<br /><br />Usando a identidade $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int \frac{1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(2x)}{2}}{4} dx$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int \frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(2x)}{8} dx$<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \int \frac{3 - 3\cos(2x)}{8} dx$<br /><br />Agora, podemos integrar termo a termo:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \frac{3}{8} \int dx - \frac{3}{8} \int \cos(2x) dx$<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \frac{3}{8} x - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$<br /><br />Usando a identidade $\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax)$, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \frac{3}{8} x - \frac{3}{16} (-\cos(2x))$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\int \sin^4(x)dx = \frac{3}{8} x + \frac{3}{16} \cos(2x) + C$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção A: $\frac{1}{4} \sin^3(x) \cos(x) - \frac{3}{8} x + \frac{3}{16} \sin(2x) + C$.