Um cientista , antes de almoçar , armazenou 100 gramas de uma amostra radioative I em um recipiente aberto. Ao retornar, uma hora e meia depois , voltou a realizar experimentos ; com essa mesma amostra , porém reparou que o recipiente estava 75 gramas mais leve do que antes. Obrigatória Com base nas informações acima , calcule a meia-vida da amostra analisada pelo cientista. Nota: 1

Para calcular a meia-vida da amostra radioativa, podemos usar a fórmula da decaimento radioativo:<br /><br />\[ N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( N(t) \) é a quantidade de substância restante após um tempo \( t \).<br />- \( N_0 \) é a quantidade inicial de substância.<br />- \( T \) é a meia-vida da substância.<br />- \( t \) é o tempo decorrido.<br /><br />No caso em questão, o cientista armazenou 100 gramas da amostra radioativa e, após uma hora e meia (90 minutos), a amostra pesava 75 gramas. Vamos substituir esses valores na fórmula:<br /><br />\[ 75 = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{90}{T}} \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 100:<br /><br />\[ 0,75 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{90}{T}} \]<br /><br />Agora, vamos aplicar logaritmo em ambos os lados para isolar o expoente:<br /><br />\[ \log(0,75) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{90}{T}}\right) \]<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos:<br /><br />\[ \log(0,75) = \frac{90}{T} \times \log\left(\frac{1}{2}\right) \]<br /><br />Sabendo que \( \log\left(\frac{1}{2}\right) = -\log(2) \):<br /><br />\[ \log(0,75) = \frac{90}{T} \times (-\log(2)) \]<br /><br />Isolando \( T \):<br /><br />\[ T = \frac{90 \times \log(0,75)}{-\log(2)} \]<br /><br />Calculando os logaritmos:<br /><br />\[ \log(0,75) \approx -0,125 \]<br />\[ \log(2) \approx 0,301 \]<br /><br />Substituindo esses valores:<br /><br />\[ T = \frac{90 \times (-0,125)}{-0,301} \]<br /><br />\[ T \approx \frac{-11,25}{-0,301} \]<br /><br />\[ T \approx 37,24 \]<br /><br />Portanto, a meia-vida da amostra analisada pelo cientista é aproximadamente 37,24 minutos.