2. Usando semelhança de Triângulos, mas não diretamente a noção de área, prove que o produto da base pela altura de paralelogramo não depende de qual lado se tomou como base

Para provar que o produto da base pela altura de um paralelogramo não depende de qual lado se tomou como base, podemos usar a semelhança de triângulos. Vamos considerar um paralelogramo \(ABCD\) e traçar uma diagonal \(AC\), que divide o paralelogramo em dois triângulos: \(\triangle ABC\) e \(\triangle ADC\).<br /><br />Vamos mostrar que os triângulos \(\triangle ABC\) e \(\triangle ADC\) são semelhantes. Para isso, precisamos mostrar que têm ângulos congruentes e que os lados correspondentes são proporcionais.<br /><br />1. **Ângulos congruentes:**<br /> - Os ângulos \(\angle BAC\) e \(\angle DCA\) são congruentes, pois são ângulos alternos internos.<br /> - Os ângulos \(\angle ABC\) e \(\angle ADC\) são congruentes, pois são ângulos opostos por um paralelo.<br /><br />2. **Proporcionalidade dos lados:**<br /> - Consideramos os lados correspondentes dos triângulos \(\triangle ABC\) e \(\triangle ADC\):<br /> - \(\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}\) (porque \(ABCD\) é um paralelogramo, os lados opostos são proporcionais).<br /><br />Como os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, concluímos que \(\triangle ABC \sim \triangle ADC\).<br /><br />Devido à semelhança dos triângulos, podemos usar a propriedade de que os lados correspondentes de triângulos semelhantes são proporcionais. Isso significa que:<br /><br />\[<br />\frac{BC}{DC} = \frac{AB}{AD}<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados da proporção por \(h\) (a altura correspondente a cada base), obtemos:<br /><br />\[<br />BC \cdot h = DC \cdot h<br />\]<br /><br />Isso prova que o produto da base pela altura de um paralelogramo não depende de qual lado se tomou como base. Em outras palavras, o produto \(B \cdot h\) é sempre igual para qualquer base \(B\) e sua respectiva altura \(h\).