d=sqrt (x^2+y^2) Como d é crescente em relação a d^2 podemos minimizar ou maximizar diretamente d^2=x^2+y^2 Assim, a função que devemos estudar seus maximos e minimos é: f(x,y)=x^2+y^2

função que devemos estudar para encontrar os máximos e mínimos é \( f(x, y) = x^2 + y^2 \). Para encontrar os pontos críticos dessa função, podemos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \) e igualá-las a zero:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0<br />\]<br /><br />Portanto, o único ponto crítico é \( (0, 0) \). Para determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela, podemos calcular a matriz Hessiana \( H \) de \( f \):<br /><br />\[<br />H = \begin{bmatrix}<br />\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\<br />\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}<br />\end{bmatrix}<br />= \begin{bmatrix}<br />2 & 0 \\<br />0 & 2<br />\end{bmatrix}<br />\]<br /><br />A matriz Hessiana é diagonal e positiva definida, o que significa que \( f \) tem um mínimo no ponto \( (0, 0) \). Portanto, a função \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) tem um mínimo no ponto \( (0, 0) \).