(0,5) ) 50termine(dy)/(dx)sabendoque5x^4+seny+3xy=y^5-2x^3+1

Para encontrar a derivada implícita de \( y \) em relação a \( x \), vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a \( x \). Vamos começar com a equação dada:<br /><br />\[ 5x^4 + \sin(y) + 3xy = y^5 - 2x^3 + 1 \]<br /><br />Diferenciamos ambos os lados em relação a \( x \):<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(\sin(y)) + \frac{d}{dx}(3xy) = \frac{d}{dx}(y^5) - \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(1) \]<br /><br />Aplicando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:<br /><br />\[ 20x^3 + \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx} + 3y + 3x \cdot \frac{dy}{dx} = 5y^4 \cdot \frac{dy}{dx} - 6x^2 \]<br /><br />Agora, vamos reunir todos os termos que contêm \( \frac{dy}{dx} \) em um lado da equação:<br /><br />\[ \cos(y) \cdot \frac{dy}{dx} + 3x \cdot \frac{dy}{dx} - 5y^4 \cdot \frac{dy}{dx} = -20x^3 - 3y + 6x^2 - 1 \]<br /><br />Fatorando \( \frac{dy}{dx} \) no lado esquerdo da equação, temos:<br /><br />\[ \left( \cos(y) + 3x - 5y^4 \right) \cdot \frac{dy}{dx} = -20x^3 - 3y + 6x^2 - 1 \]<br /><br />Finalmente, isolando \( \frac{dy}{dx} \), obtemos:<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-20x^3 - 3y + 6x^2 - 1}{\cos(y) + 3x - 5y^4} \]<br /><br />Portanto, a derivada implícita de \( y \) em relação a \( x \) é:<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-20x^3 - 3y + 6x^2 - 1}{\cos(y) + 3x - 5y^4} \]