Pergunta
2. (20 pontos) (a) (10 pontos ) Encontre uma série de potências para f(x)=(1)/(1+x) (b) (10 pontos ) Calcule sum _(n=0)^infty ((-1)^n)/(2^n)(n+1)
Solução
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ZuleikaMestre · Tutor por 5 anos
Responder
(a) Para encontrar uma série de potências para a função \( f(x) = \frac{1}{1+x} \), podemos usar a fórmula da série de potências de uma função racional. A fórmula geral é dada por:<br /><br />\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \]<br /><br />onde \( a_n \) são os coeficientes da série, \( c \) é o centro da série e \( x \) é a variável.<br /><br />No caso da função \( f(x) = \frac{1}{1+x} \), podemos reescrever a função na forma \( f(x) = \frac{1}{1-(-x)} \). Agora, podemos identificar que \( c = -1 \) e \( a_n = (-1)^n \).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula geral, obtemos:<br /><br />\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x + 1)^n \]<br /><br />Portanto, a série de potências para \( f(x) = \frac{1}{1+x} \) é:<br /><br />\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x + 1)^n \]<br /><br />(b) Para calcular a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} \), podemos usar a fórmula da série de potências. Neste caso, a série é uma série alternada, pois temos o termo \( (-1)^n \).<br /><br />Podemos reescrever a série como:<br /><br />\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} \cdot \frac{1}{n+1} \]<br /><br />Agora, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da série de potências:<br /><br />\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \]<br /><br />A soma da série é dada por:<br /><br />\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} = \frac{1}{2} \ln(1 + \frac{1}{2}) \]<br /><br />Portanto, a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} \) é:<br /><br />\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} = \frac{1}{2} \ln(3/2) \]
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