18. Denotamos por lfloor zrfloor , o maior inteiro menor ou igual a 2. Calcule a integral iint _(R)[x+y]dA onde R=[1,3]times [2,5]

Para calcular a integral \(\iint_{R} [x+y] \, dA\), onde \(R = [1,3] \times [2,5]\), vamos primeiro entender a função integranda \([x+y]\). Esta função é a parte inteira de \(x+y\), que é o maior inteiro menor ou igual a \(x+y\).<br /><br />Vamos dividir a região \(R\) em sub-regiões onde \(x+y\) é constante. Como \(x\) varia de 1 a 3 e \(y\) varia de 2 a 5, podemos considerar as seguintes regiões:<br /><br />1. \(1 \leq x + y < 2\)<br />2. \(2 \leq x + y < 3\)<br />3. \(3 \leq x + y < 4\)<br />4. \(4q x + y < 5\)<br /><br />Para cada região, podemos calcular a integral sobre essa sub-região. Vamos calcular a integral sobre a região onde \(2 \leq x + y < 3\):<br /><br />\[<br />\iint_{R} [x+y] \, dA = \int_{1}^{3} \int_{2}^{3-x} (x+y) \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular a integral interna:<br /><br />\[<br />\int_{2}^{3-x} (x+y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{2}^{3-x} = x(3-x) + \frac{(3-x)^2}{2} - 2x - \frac{4}{2}<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />= 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x - 2 = 3x - x^2 + \frac{9 - 6x + x^2}{2} - 2x -