Dadas as funções: f(x)=(1)/(2x+3),g(x)=(1-x-x^2)/(2x^2)-7 e h(x)=(sqrt (x)+x^2)/(2x-x^2) Analise as afirmativas seguintes. lim _(xarrow infty )((1)/(2x+3))=0 II lim _(xarrow -infty )(1-x-x^2)/(2x^2)-7=-(1)/(2) III lim _(xarrow infty )(sqrt (x)+x^2)/(2x-x^2)=-1

Vamos analisar cada uma das afirmativas:<br /><br />I. $\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {1}{2x+3})=0$<br /><br />Para determinar o limite dessa função quando $x$ se aproxima do infinito, podemos observar que o termo $2x$ domina o numerador. Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por $x$:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {1}{2x+3}) = \lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {1}{2 + \frac{3}{x}})$<br /><br />Quando $x$ se aproxima do infinito, $\frac{3}{x}$ se aproxima de zero. Portanto, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow \infty }(\frac {1}{2 + \frac{3}{x}}) = \frac {1}{2 + 0} = \frac {1}{2}$<br /><br />Portanto, a afirmativa I está incorreta.<br /><br />II. $\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac {1-x-x^{2}}{2x^{2}-7}=-\frac {1}{2}$<br /><br />Para determinar o limite dessa função quando $x$ se aproxima do negativo infinito, podemos observar que o termo $x^2$ domina o numerador e o denominador. Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por $x^2$:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac {1-x-x^{2}}{2x^{2}-7} = \lim _{x\rightarrow -\infty }\frac {\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-1}{2-\frac{7}{x^2}}$<br /><br />Quando $x$ se aproxima do negativo infinito, $\frac{1}{x}$ e $\frac{7}{x^2}$ se aproximam de zero. Portanto, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow -\infty }\frac {\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-1}{2-\frac{7}{x^2}} = \frac {0-0-1}{2-0} = -1$<br /><br />Portanto, a afirmativa II está incorreta.<br /><br />III. $\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {\sqrt {x}+x^{2}}{2x-x^{2}}=-1$<br /><br />Para determinar o limite dessa função quando $x$ se aproxima do infinito, podemos observar que o termo $x^2$ domina o numerador e o denominador. Portanto, podemos simplificar a expressão dividindo todos os termos por $x^2$:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {\sqrt {x}+x^{2}}{2x-x^{2}} = \lim _{x\rightarrow \infty }\frac {\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x}-1}$<br /><br />Quando $x$ se aproxima do infinito, $\frac{1}{x}$ e $\frac{2}{x}$ se aproximam de zero. Portanto, temos:<br /><br />$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac {\frac{1}{x}+1}{\frac{2}{x}-1} = \frac {0+1}{0-1} = -1$<br /><br />Portanto, a afirmativa III está correta.<br /><br />Resumindo, a única afirmativa correta é a III.