6. Calcule a integral dada a seguir. int tg^5xsec^3xdx

Para calcular a integral \(\int \tan^5(x) \sec^3(x) \, dx\), podemos usar uma substituição adequada. Vamos usar a substituição \(u = \tan(x)\) e \(v = \sec(x)\).<br /><br />Primeiro, calculamos as derivadas de \(u\) e \(v\):<br />\[ u = \tan(x) \implies du = \sec^2(x) \, dx \]<br />\[ v = \sec(x) \implies dv = \sec(x) \tan(x) \, dx = \tan(x) \sec(x) \, dx \]<br /><br />Agora, substituímos \(u\) e \(v\) na integral:<br />\[ \int \tan^5(x) \sec^3(x) \, dx = \int u^5 v^3 \, dx \]<br /><br />Usamos a substituição \(u = \tan(x)\) e \(v = \sec(x)\):<br />\[ \int u^5 v^3 \, du \]<br /><br />Como \(v = \sec(x)\) e \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), podemos reescrever \(v\) em termos de \(\cos(x)\):<br />\[ v = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]<br /><br />Mas, para simplificar, vamos usar a relação \(v = \sec(x)\) diretamente:<br />\[ \int u^5 v^3 \, du \]<br /><br />Para resolver essa integral, precisamos de uma forma de expressar \(\sec(x)\) e \(\tan(x)\) em termos de uma única variável. Vamos usar a identidade trigonométrica:<br />\[ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \]<br />\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]<br /><br />Mas, para simplificar, vamos usar a identidade:<br />\[ \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \]<br /><br />Agora, substituímos \(\sec^2(x)\) na integral:<br />\[ \int \tan^5(x) \sec^3(x) \, dx = \int \tan^5(x) \sec(x) \sec^2(x) \, dx \]<br /><br />Usamos a identidade \(\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\):<br />\[ \int \tan^5(x) \sec(x) (1 + \tan^2(x)) \, dx \]<br /><br />Agora, substituímos \(u = \tan(x)\):<br />\[ \int u^5 (1 + u^2) \, du \]<br /><br />Expandindo:<br />\[ \int u^5 + u^7 \, du \]<br /><br />Integrando termo a termo:<br />\[ \int u^5 \, du + \int u^7 \, du \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac{u^8}{8} \]<br />\[ = \frac{u^6}{6} + \frac