A área do thiangulo ABC de vertices hos pontos A=(1,0,0),B=(-1,2,4) liên C=(0,1,-2) é igual a: a. 2sqrt (10) b. sqrt (5) C. 2sqrt (3) ) d. (sqrt (2))/(2) e. 4sqrt (2)

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado seus vértices. A fórmula é:<br /><br />\[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| \]<br /><br />onde \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\) são os vetores que representam os lados do triângulo.<br /><br />Primeiro, calculamos os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 2 - 0, 4 - 0) = (-2, 2, 4)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 0, -2 - 0) = (-1, 1, -2)<br />\]<br /><br />Em seguida, calculamos o produto vetorial \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />-2 & 2 & 4 \\<br />-1 & 1 & -2<br />\end{vmatrix}<br />\]<br /><br />Calculando o determinante:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} (2 \cdot -2 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j} (-2 \cdot -2 - 4 \cdot -1) + \mathbf{k} (-2 \cdot 1 - 2 \cdot -1)<br />\]<br /><br />\[<br />= \mathbf{i} (-4 - 4) - \mathbf{j} (4 - (-4)) + \mathbf{k} (-2 + 2)<br />\]<br /><br />\[<br />= \mathbf{i} (-8) - \mathbf{j} (8) + \mathbf{k} (0)<br />\]<br /><br />\[<br />= -8\mathbf{i} - 8\mathbf{j} + 0\mathbf{k}<br />\]<br /><br />\[<br />= -8(-1, 1, 0) = (8, -8, 0)<br />\]<br /><br />Agora, calculamos o módulo do vetor resultante:<br /><br />\[<br />\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{8^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64 + 0} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}<br />\]<br /><br />Finalmente, calculamos a área do triângulo:<br /><br />\[<br />\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}<br />\]<br /><br />Portanto, a área do triângulo ABC é \(4\sqrt{2}\).<br /><br />A resposta correta é a opção e. \(4\sqrt{2}\).