5. Uma particula se move ao longo de uma linha reta. A distância da partícula da origem no instante t edada por s(t)=sent+2cost Encontre a velocidade nos seguintes tempos (Lembre-se de que v(t)=s^2(t) (a) t=0 (b) t=(pi )/(4) (c) t=(3pi )/(2)

Para encontrar a velocidade da partícula nos tempos dados, precisamos calcular a derivada da função de posição \( s(t) \) em relação ao tempo \( t \). A função de posição é dada por:<br /><br />\[ s(t) = 5t + 2\cos(t) \]<br /><br />A velocidade \( v(t) \) é a derivada de \( s(t) \) em relação a \( t \):<br /><br />\[ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \]<br /><br />Vamos calcular essa derivada:<br /><br />\[ v(t) = \frac{d}{dt}(5t + 2\cos(t)) \]<br /><br />\[ v(t) = 5 - 2\sin(t) \]<br /><br />Agora, podemos substituir os valores de \( t \) para encontrar a velocidade nos tempos dados:<br /><br />(a) Para \( t = 0 \):<br /><br />\[ v(0) = 5 - 2\sin(0) \]<br /><br />\[ v(0) = 5 - 2 \cdot 0 \]<br /><br />\[ v(0) = 5 \]<br /><br />(b) Para \( t = \frac{\pi}{4} \):<br /><br />\[ v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 - 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]<br /><br />\[ v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]<br /><br />\[ v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 - \sqrt{2} \]<br /><br />(c) Para \( t = \frac{3\pi}{2} \):<br /><br />\[ v\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 5 - 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \]<br /><br />\[ v\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 5 - 2 \cdot (-1) \]<br /><br />\[ v\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 5 + 2 \]<br /><br />\[ v\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 7 \]<br /><br />Portanto, as velocidades nos tempos dados são:<br /><br />(a) \( v(0) = 5 \)<br /><br />(b) \( v\left(\frac{\pi}{4}\right) = 5 - \sqrt{2} \)<br /><br />(c) \( v\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 7 \)