Determine a transformada de Laplace f(x)=5sen3x-17e^-2x

Para determinar a transformada de Laplace da função \( f(x) = 5 \sin(3x) - 17e^{-2x} \), vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente e depois somar os resultados.<br /><br />### Transformada de Laplace de \( 5 \sin(3x) \)<br /><br />A transformada de Laplace da função \( \sin(kx) \) é dada por:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{\sin(kx)\} = \frac{k}{s^2 + k^2} \]<br /><br />Para \( \sin(3x) \), temos \( k = 3 \). Portanto:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{\sin(3x)\} = \frac{3}{s^2 + 3^2} = \frac{3}{s^2 + 9} \]<br /><br />Multiplicando por 5:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{5 \sin(3x)\} = 5 \cdot \frac{3}{s^2 + 9} = \frac{15}{s^2 + 9} \]<br /><br />### Transformada de Laplace de \( -17e^{-2x} \)<br /><br />A transformada de Laplace da função \( e^{-ax} \) é dada por:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{e^{-ax}\} = \frac{1}{s + a} \]<br /><br />Para \( e^{-2x} \), temos \( a = 2 \). Portanto:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{e^{-2x}\} = \frac{1}{s + 2} \]<br /><br />Multiplicando por -17:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{-17e^{-2x}\} = -17 \cdot \frac{1}{s + 2} = \frac{-17}{s + 2} \]<br /><br />### Resultado Final<br /><br />Somando as transformadas de Laplace dos termos individuais:<br /><br />\[ \mathcal{L}\{f(x)\} = \mathcal{L}\{5 \sin(3x) - 17e^{-2x}\} = \frac{15}{s^2 + 9} - \frac{17}{s + 2} \]<br /><br />Portanto, a transformada de Laplace da função \( f(x) = 5 \sin(3x) - 17e^{-2x} \) é:<br /><br />\[ \boxed{\mathcal{L}\{f(x)\} = \frac{15}{s^2 + 9} - \frac{17}{s + 2}} \]