3. (Stewart, 2008) Os cientistas podem determinar a idade de um objeto antigo por um método chamado datação decarbono 14. O bombardeamento da atmosfera superior por raios cósmicos converte o nitrogênio em um isótopo radioativo de carbono, {}^14C com uma meia-vida de cerca de 5.730 anos. A vegetação absorveo dióxido de carbono pela atmosfera e os animais assimilam o {}^14C através das cadeias alimentares . Quando uma planta ou animal morre, ele para de repor seu carbono, e a quantidade de {}^14C diminui através do decaim ento radioativo. Portanto, o nivel de radioatividade também deve decair exponencialmente. Um pedago de tecido foi descoberto tendo cerca de 74% de {}^14C radioativo em relação às plantas terrestres nos dias de hoje. Estime a idade do pedaço de tecido.

Para estimar a idade do pedaço de tecido, podemos usar a fórmula da meia-vida radioativa:<br /><br />$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$<br /><br />Onde:<br />- $N(t)$ é a quantidade de ${}^{14}C$ restante no tecido em relação à quantidade inicial ($N_0$) após um tempo $t$.<br />- $T$ é a meia-vida do ${}^{14}C$, que é de 5.730 anos.<br /><br />Dado que o tecido possui cerca de 74% de ${}^{14}C$ radioativo em relação às plantas terrestres nos dias de hoje, podemos escrever:<br /><br />$N(t) = 0,74 \cdot N_0$<br /><br />Substituindo na fórmula da meia-vida, temos:<br /><br />$0,74 \cdot N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$<br /><br />Dividindo ambos os lados por $N_0$, obtemos:<br /><br />$0,74 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$<br /><br />Agora, podemos resolver para $t$:<br /><br />$\frac{t}{5730} = \log_{\frac{1}{2}}(0,74)$<br /><br />Usando uma calculadora, encontramos:<br /><br />$\frac{t}{5730} \approx -0,292$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 5730, obtemos:<br /><br />$t \approx -0,292 \cdot 5730$<br /><br />Portanto, a idade aproximada do pedaço de tecido é de cerca de 1.677 anos.