Q7. Calcule a integral de linha onde C é a curva dada. (a) int _(C)yds , onde C: x=t^2, y=2t, 0leqslant tleqslant 3 (b) int _(C)xyds , onde Céa metade direita do circulo x^2+y^2=16 (c) int _(C)xe^ydx . onde Céo arco da curva x=e^y de (0,1) a (e,1) (d) int _(C)xe^yzds , onde Céo segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3) (e) int _(C)zdx+xdy+ydz onde C x=t^2, y=t^3, z=t^2, 0leqslant tleqslant 1

Para calcular a integral de linha, precisamos calcular a integral da função integranda ao longo da curva C. Vamos calcular cada uma das opções:<br /><br />(a) $\int _{C}yds$, onde C: $x=t^{2},\quad y=2t,\quad 0\leqslant t\leqslant 3$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de t e depois integrar em relação a t. A função integranda é y, que é igual a 2t. Então, temos:<br /><br />$\int _{C}yds = \int _{0}^{3}2t\,ds$<br /><br />Para calcular ds, precisamos calcular o elemento de comprimento da curva C. Podemos fazer isso calculando a derivada de x e y em relação a t e depois usando a fórmula ds = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)dt. Calculando as derivadas, temos:<br /><br />dx/dt = 2t<br />dy/dt = 2<br /><br />Usando a fórmula, temos:<br /><br />ds = sqrt((2t)^2 + 2^2)dt = sqrt(4t^2 + 4)dt<br /><br />Agora, podemos substituir ds na integral e calcular a integral em relação a t:<br /><br />$\int _{C}yds = \int _{0}^{3}2t\sqrt{4t^2 + 4}\,dt$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes ou substituição. Vamos usar substituição. Substituindo u = 4t^2 + 4, temos:<br /><br />du = 8tdt<br /><br />A integral se torna:<br /><br />$\int _{C}yds = \int _{4}^{16}\frac{1}{2}\sqrt{u}\,du$<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos:<br /><br />$\int _{C}yds = \frac{1}{3}(16\sqrt{16} - 4\sqrt{4}) = \frac{1}{3}(16*4 - 4*2) = \frac{1}{3}(64 - 8) = \frac{56}{3}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é (a) $\frac{56}{3}$.<br /><br />(b) $\int _{C}xyds$, onde C é a metade direita do círculo $x^{2}+y^{2}=16$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de x e y e depois integrar em relação a x e y. A função integranda é xy, que é igual a x*sqrt(16 - x^2). Então, temos:<br /><br />$\int _{C}xyds = \int _{-4}^{4}x\sqrt{16 - x^2}\,dx$<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar integração por partes ou substituição. Vamos usar integração por partes. Fazendo isso, temos:<br /><br />$\int _{C}xyds = \int _{-4}^{4}x\sqrt{16 - x^2}\,dx = \int _{-4}^{4}x\,du\,dx$<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos:<br /><br />$\int _{C}xyds = \frac{1}{2}\int _{-4}^{4}x\,du\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{u^2}{2}\right]_{-4}^{4} = \frac{1}{2}\left[\frac{(16)^2}{2} - \frac{(-4)^2}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[\frac{256}{2} - \frac{16}{2}\right] = \frac{1}{2}(128 - 8) = 60$<br /><br />Portanto, a resposta correta é (b) 60.<br /><br />(c) $\int _{C}xe^{y}dx$, onde C é o arco da curva $x=e^{y}$ de $(0,1)$ a $(e,1)$<br /><br />Para calcular essa integral, precisamos substituir a função integranda em termos de x e y e depois integrar em relação a x e y. A função integranda é xe^y, que é igual a e^y * e^y = e^(2y). Então, temos:<br /><br />$\int _{C}xe^{y}dx = \int _{0}^{1}e^{2y}\,dy$<br /><br />Resolvendo essa integral, obtemos:<br /><br />$\int _{C}xe^{y}dx = \frac{1}{2}e^{2y}\bigg|