Durante quanto tempo uma pessoa que deseja juntar 30.000,00 iniciando sua aplicação com 10.000,00 deve deixar seu dinheiro aplicado a uma taxa de 10% a.m. no regime de juros compostos? a. 12,5 meses. b. 30 meses. c. 15 meses. d. 10 meses. e. 12 meses.

Para resolver essa questão, utilizamos a fórmula dos juros compostos:<br /><br />\[ M = P \times (1 + i)^n \]<br /><br />onde:<br />- \( M \) é o montante final desejado (\$30.000,00),<br />- \( P \) é o capital inicial (\$10.000,00),<br />- \( i \) é a taxa de juros mensal (10% ou 0,10),<br />- \( n \) é o número de períodos (meses) que queremos encontrar.<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ 30.000 = 10.000 \times (1 + 0,10)^n \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 10.000, obtemos:<br /><br />\[ 3 = (1,10)^n \]<br /><br />Para encontrar \( n \), precisamos usar logaritmos:<br /><br />\[ \log(3) = \log((1,10)^n) \]<br /><br />Utilizando a propriedade dos logaritmos, podemos reescrever como:<br /><br />\[ \log(3) = n \times \log(1,10) \]<br /><br />Isolando \( n \):<br /><br />\[ n = \frac{\log(3)}{\log(1,10)} \]<br /><br />Calculando os logaritmos:<br /><br />\[<br />\log(3) \approx 0,4771<br />\]<br />\[<br />\log(1,10) \approx 0,0414<br />\]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ n \approx \frac{0,4771}{0,0414} \approx 11,52 \]<br /><br />Assim, a pessoa deve deixar seu dinheiro aplicado por aproximadamente 11,52 meses. Como não há essa opção nas alternativas, arredondamos para o valor inteiro mais próximo, que é 12 meses.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />e. 12 meses.