68. Construir um trianguio retengelo no plano 2 x-y+2=1

Para construir um triângulo retângulo no plano dado, precisamos encontrar três pontos que satisfaçam as equações do plano e formem um triângulo retângulo.<br /><br />Uma maneira de fazer isso é encontrar um ponto no plano que seja um inteiro, pois isso simplifica o processo de construção. Vamos encontrar um ponto dessa forma.<br /><br />Resolvendo a equação do plano para y, temos:<br /><br />\( y = 2x - 1 \)<br /><br />Agora, vamos substituir alguns valores de x para encontrar um valor de y correspondente. Por exemplo, se x = 1, temos:<br /><br />\( y = 2(1) - 1 = 1 \)<br /><br />Portanto, um ponto que satisfaz a equação do plano é (1, 1).<br /><br />Agora, precisamos encontrar dois outros pontos que formem um triângulo retângulo com esse ponto. Podemos fazer isso encontrando dois pontos que satisfaçam a equação do plano e formem um ângulo de 90 graus com o ponto (1, 1).<br /><br />Uma maneira de fazer isso é usar a equação da reta perpendicular. A reta perpendicular a uma reta com coeficiente angular m tem coeficiente angular -1/m. Nesse caso, a reta perpendicular à reta y = 2x - 1 tem coeficiente angular -1/2.<br /><br />Agora, vamos encontrar um ponto dessa reta perpendicular que satisfaça a equação do plano. Podemos fazer isso substituindo um valor de x na equação da reta perpendicular e resolvendo para y. Por exemplo, se x = 2, temos:<br /><br />\( y = -\frac{1}{2}(2) = -1 \)<br /><br />Portanto, um ponto que satisfaz a equação do plano e forma um ângulo de 90 graus com o ponto (1, 1) é (2, -1).<br /><br />Finalmente, precisamos encontrar um terceiro ponto que satisfaça a equação do plano e forme um triângulo retângulo com os pontos (1, 1) e (2, -1). Podemos fazer isso usando a propriedade dos triângulos retângulos, que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.<br /><br />Usando essa propriedade, podemos encontrar o terceiro ponto. Por exemplo, se considerarmos os pontos (1, 1) e (2, -1) como catetos, temos:<br /><br />\( hipotenusa^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \)<br /><br />Portanto, o terceiro ponto que satisfaz a equação do plano e forma um triângulo retângulo com os pontos (1, 1) e (2, -1) é (sqrt(5), 0).<br /><br />Assim, temos três pontos que satisfazem a equação do plano e formam um triângulo retângulo: (1, 1), (2, -1) e (sqrt(5), 0).