c) (-x(2 x^2-18)(x^2-10))/(x+5) geq 0

Para resolver a inequação \( \frac{-x\left(2 x^{2}-18\right)\left(x^{2}-10\right)}{x+5} \geq 0 \), precisamos encontrar os valores de \( x \) que tornam a expressão maior ou igual a zero.<br /><br />Primeiro, vamos analisar o numerador da fração. O numerador é dado por \( -x\left(2 x^{2}-18\right)\left(x^{2}-10\right) \). Podemos observar que o fator \( -x \) inverte o sinal da expressão. Portanto, precisamos analisar os fatores restantes.<br /><br />O fator \( \left(2 x^{2}-18\right) \) pode ser fatorado como \( 2(x^{2}-9) \), que é igual a \( 2(x+3)(x-3) \). Portanto, o numerador pode ser escrito como \( -x \cdot 2(x+3)(x-3)\left(x^{2}-10\right) \).<br /><br />Agora, vamos analisar o denominador da fração, que é \( x+5 \).<br /><br />Para encontrar os valores de \( x \) que tornam a expressão maior ou igual a zero, precisamos determinar os pontos em que o numerador é igual a zero e os pontos em que o denominador é igual a zero.<br /><br />O numerador é igual a zero quando \( x = 0 \), \( x = 3 \), \( x = -3 \) e \( x = \pm \sqrt{10} \).<br /><br />O denominador é igual a zero quando \( x = -5 \).<br /><br />Agora, vamos determinar os intervalos em que a expressão é maior ou igual a zero. Podemos fazer isso analisando os sinais dos fatores do numerador e do denominador.<br /><br />O fator \( -x \) inverte o sinal da expressão. Portanto, a expressão será positiva ou nula quando o fator \( 2(x+3)(x-3)\left(x^{2}-10\right) \) for positivo ou nulo.<br /><br />O fator \( (x+3) \) é positivo ou nulo quando \( x \) está no intervalo \( (-\infty, -3] \) ou \( x = -3 \).<br /><br />O fator \( (x-3) \) é positivo ou nulo quando \( x \) está no intervalo \( (3, \infty) \) ou \( x = 3 \).<br /><br />O fator \( (x^{2}-10) \) é positivo ou nulo quando \( x \) está no intervalo \( (-\infty, -\sqrt{10}) \) ou \( x = -\sqrt{10} \), ou no intervalo \( (\sqrt{10}, \infty) \) ou \( x = \sqrt{10} \).<br /><br />Portanto, a expressão será maior ou igual a zero nos seguintes intervalos:<br /><br />\( x \in (-\infty, -\sqrt{10}) \cup (-\sqrt{10}, -3] \cup \{ -3 \} \cup (3, \sqrt{10}) \cup (\sqrt{10}, \infty) \)<br /><br />É importante notar que a expressão não está definida quando \( x = -5 \), pois o denominador é igual a zero.