24. (Unicamp-SP) Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronomica Internacional, passando a ser considerado um planeta anão, A terceira Lei de Kepler diz que T^2=Ka^3 onde Té o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e a 6 a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa médla a_(r)=1,5cdot 10^11m enquanto para Plutão a_(p)=60cdot 10^11m A constante Ké a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual 3cdot 10^8m/s. Dado: sqrt (10)=3,2 a) Considerando-se as distâncias médlas, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão? b)Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

Question

Pergunta

24. (Unicamp-SP) Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronomica Internacional, passando a ser considerado um planeta anão, A terceira Lei de Kepler diz que T^2=Ka^3 onde Té o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e a 6 a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa médla a_(r)=1,5cdot 10^11m enquanto para Plutão a_(p)=60cdot 10^11m A constante Ké a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual 3cdot 10^8m/s. Dado: sqrt (10)=3,2 a) Considerando-se as distâncias médlas, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão? b)Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

Answer 1

Vamos resolver as questões passo a passo: ### Parte a) Para calcular o tempo que a luz do Sol leva para atingir a Terra e Plutão, usamos a fórmula: \[ T = \frac{a}{c} \] onde \( a \) é a distância média do planeta ao Sol e \( c \) é a velocidade da luz no vácuo. Para a Terra: \[ a_r = 1,5 \cdot 10^{11} \, \text{m} \] \[ c = 3 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \] \[ T_r = \frac{1,5 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} = 500 \, \text{s} \] Para Plutão: \[ a_p = 60 \cdot 10^{11} \, \text{m} \] \[ T_p = \frac{60 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^8} = 2000000 \, \text{s} \] ### Parte b) Para calcular o período orbital de Plutão, usamos a terceira Lei de Kepler: \[ T^2 = K \cdot a^3 \] Sabemos que \( K \) é a mesma para todos os objetos em órbita ao redor do Sol. Para a Terra, \( a_r = 1,5 \cdot 10^{11} \, \text{m} \) e \( T_r = 365,25 \, \text{dias} \) (aproximadamente 365 dias). \[ K = \frac{T_r^2}{a_r^3} = \frac{(365,25)^2}{(1,5 \cdot 10^{11})^3} \] Calculamos \( K \): \[ K = \frac{133.765625 \cdot 10^{22}}{3,375 \cdot 10^{33}} \approx 3,99 \cdot 10^{-11} \, \text{s}^{-2} \, \text{m}^{-3} \] Agora, usamos \( K \) para calcular o período orbital de Plutão: \[ T_p^2 = K \cdot a_p^3 \] \[ T_p^2 = 3,99 \cdot 10^{-11} \cdot (60 \cdot 10^{11})^3 \] \[ T_p^2 = 3,99 \cdot 10^{-11} \cdot 216000000000000000000000 \] \[ T_p^2 = 8,64 \cdot 10^{22} \] \[ T_p = \sqrt{8,64 \cdot 10^{22}} \] \[ T_p \approx 2,94 \cdot 10^{11} \, \text{s} \] Convertendo para anos: \[ T_p \approx \frac{2,94 \cdot 10^{11}}{365,25 \cdot 24 \cdot 3600} \] \[ T_p \approx 248 \, \text{anos} \] Portanto, a luz do Sol leva aproximadamente 500 segundos para atingir a Terra e 2000000 segundos para atingir Plutão. Plutão leva aproximadamente 248 anos terrestres para dar uma volta completa ao redor do Sol.

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