6)Determ inar a derivada direcion al da função f(x,y)=1+2xsqrt (y)=1+2x,y^(1)/(2) no ponto P(3,4) na direção do vetor overrightarrow (v)=4i-3j

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} \) no ponto \( P(3, 4) \) na direção do vetor \( \overrightarrow{v} = 4i - 3j \), precisamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Calcular a derivada parcial de \( f \) em relação a \( x \) e \( y \):**<br /><br /> \[<br /> f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y}<br /> \]<br /><br /> Derivada parcial em relação a \( x \):<br /><br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial x} = 2\sqrt{y}<br /> \]<br /><br /> Derivada parcial em relação a \( y \):<br /><br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial y} = 2x \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{x}{\sqrt{y}}<br /> \]<br /><br />2. **Evaluar as derivadas parciais no ponto \( P(3, 4) \):**<br /><br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(3, 4)} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4<br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(3, 4)} = \frac{3}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2}<br /> \]<br /><br />3. **Calcular o vetor unitário na direção de \( \overrightarrow{v} \):**<br /><br /> \[<br /> \overrightarrow{v} = 4i - 3j<br /> \]<br /><br /> A norma de \( \overrightarrow{v} \) é:<br /><br /> \[<br /> \|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5<br /> \]<br /><br /> O vetor unitário \( \hat{v} \) é:<br /><br /> \[<br /> \hat{v} = \frac{1}{5}(4i - 3j) = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)<br /> \]<br /><br />4. **Calcular a derivada direcional:**<br /><br /> \[<br /> D_{\overrightarrow{v}} f = \nabla f \cdot \hat{v}<br /> \]<br /><br /> Onde \( \nabla f \) é o gradiente de \( f \):<br /><br /> \[<br /> \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (4, \frac{3}{2})<br /> \]<br /><br /> Então, a derivada direcional é:<br /><br /> \[<br /> D_{\overrightarrow{v}} f = 4 \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \frac{16}{5} - \frac{9}{10}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \frac{32}{10} - \frac{9}{10} = \frac{23}{10}<br /> \]<br /><br />Portanto, a derivada direcional da função \(, y) = 1 + 2x\sqrt{y} \) no ponto \( P(3, 4) \) na direção do vetor \( \overrightarrow{v} = 4i - 3j \) é \( \frac{23}{10} \).