lim _(xarrow 0)[(x^6[y-1]^2)/(cos[x^3)[y-1]]-1=lim _(xarrow 0)(z^2)/(cos(z)-1)=-2

Para resolver o limite dado, podemos usar a regra de L'Hôpital, que afirma que se o limite de uma função é indeterminado, podemos tomar a derivada do numerador e do denominador separadamente e calcular o limite novamente.<br /><br />Vamos começar derivando o numerador e o denominador em relação a x:<br /><br />$\frac{d}{dx} [x^{6}[y-1]^{2}] = 6x^{5}[y-1]^{2} + 2x^{6}[y-1]$<br /><br />$\frac{d}{dx} [cos[x^{3}[y-1]]-1] = -3x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]]$<br /><br />Agora, podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{6x^{5}[y-1]^{2} + 2x^{6}[y-1]}{-3x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]]} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{6x^{5}[y-1]^{2} + 2x^{6}[y-1]}{-3x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Como podemos ver, o limite ainda é indeterminado. Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{30x^{4}[y-1] + 12x^{5}}{-6x[y-1]cos[x^{3}[y-1]] - 3x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]]} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{30x^{4}[y-1] + 12x^{5}}{-6x[y-1]cos[x^{3}[y-1]] - 3x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{120x^{3}[y-1] + 60x^{4}}{-12[y-1]cos[x^{3}[y-1]] - 6x[y-1]sin[x^{3}[y-1]] - 6x^{2}[y-1]sin[x^{3}[y-1]] - 3x^{2}[y-1]cos[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{360x^{2}[y-1] + 240x^{3}}{-36cos[x^{3}[y-1]] - 12xsin[x^{3}[y-1]] - 12x^{2}sin[x^{3}[y-1]] - 6x^{2}cos[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{720x[y-1] + 720x^{2}}{-36sin[x^{3}[y-1]] - 12xsin[x^{3}[y-1]] - 24x^{2}sin[x^{3}[y-1]] - 12x^{2}cos[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{720[y-1] + 1440x}{-36cos[x^{3}[y-1]] - 12xsin[x^{3}[y-1]] - 24x^{2}sin[x^{3}[y-1]] - 12x^{2}cos[x^{3}[y-1]]}$<br /><br />Aplicando a regra de L'Hôpital mais uma vez:<br /><br />$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{720}{-36cos[0] - 12xsin[0] - 24x^{2}sin[0] - 12x^{2}cos[0]} = \frac{720}{-36} = -20$<br /><br />Portanto, o limite é -20.