12.26 Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998, a espaçonave Mars Climate Orbiter (massa igual a 629 kg) estava a uma distância de 2.87times 10^6km da Terra e se deslocava com velocidade igual a 1.20times 10^4km/h em relação à Terra. Nesse momento , qual era a) a energia cinética da espaconave em relação à Terra e b) a energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra?

Para calcular a energia cinética da espaçonave em relação à Terra, podemos usar a fórmula da energia cinética:<br /><br />\[ KE = \frac{1}{2}mv^2 \]<br /><br />Onde:<br />- \( KE \) é a energia cinética,<br />- \( m \) é a massa da espaçonave,<br />- \( v \) é a velocidade da espaçonave em relação à Terra.<br /><br />Substituindo os valores fornecidos:<br /><br />\[ KE = \frac{1}{2} \times 629 \times (1.20 \times 10^4)^2 \]<br /><br />\[ KE = \frac{1}{2} \times 629 \times 1.44 \times 10^8 \]<br /><br />\[ KE = 9.12 \times 10^{10} \, \text{J} \]<br /><br />Portanto, a energia cinética da espaçonave em relação à Terra era de \( 9.12 \times 10^{10} \, \text{J} \).<br /><br />Para calcular a energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra, podemos usar a fórmula da energia potencial gravitacional:<br /><br />\[ PE = -\frac{GMm}{r} \]<br /><br />Onde:<br />- \( PE \) é a energia potencial gravitacional,<br />- \( G \) é a constante gravitacional,<br />- \( M \) é a massa da Terra,<br />- \( m \) é a massa da espaçonave,<br />- \( r \) é a distância entre a Terra e a espaçonave.<br /><br />Substituindo os valores fornecidos:<br /><br />\[ PE = -\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24} \times 629}{2.87 \times 10^6 \times 10^3} \]<br /><br />\[ PE = -\frac{6.674 \times 5.972 \times 629}{2.87 \times 10^{10}} \]<br /><br />\[ PE = -\frac{2.31 \times 10^{10}}{2.87 \times 10^{10}} \]<br /><br />\[ PE = -8.05 \, \text{J} \]<br /><br />Portanto, a energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra era de aproximadamente \(-8.05 \, \text{J}\).