II (6)/(sqrt (2)+1)-(2+sqrt (2))/(2-sqrt (2))

Para resolver essa expressão, primeiro vamos simplificar cada fração separadamente.<br /><br />Para a primeira fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{2}-1$ para eliminar o radical no denominador:<br /><br />$\frac{6}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$<br /><br />No denominador, temos uma diferença de quadrados, que resulta em $2-1=1$. Portanto, a fração fica:<br /><br />$\frac{6(\sqrt{2}-1)}{1} = 6\sqrt{2}-6$<br /><br />Para a segunda fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $2+\sqrt{2}$ para eliminar o radical no denominador:<br /><br />$\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} \cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2}$<br /><br />No denominador, temos uma diferença de quadrados, que resulta em $2$. Portanto, a fração fica:<br /><br />$\frac{(2+\sqrt{2})^2}{2} = \frac{4+4\sqrt{2}+2}{2} = \frac{6+4\sqrt{2}}{2} = 3+2\sqrt{2}$<br /><br />Agora, podemos substituir as frações simplificadas na expressão original:<br /><br />$6\sqrt{2}-6 - (3+2\sqrt{2})$<br /><br />Distribuindo o sinal de subtração, temos:<br /><br />$6\sqrt{2}-6 - 3 - 2\sqrt{2}$<br /><br />Agrupando os termos semelhantes, temos:<br /><br />$(6\sqrt{2}-2\sqrt{2}) - (6+3)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$4\sqrt{2} - 9$<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />$4\sqrt{2} - 9$