Pergunta

integral oint _(z)dx+xdy+ydz calculada sobre a circunferéncia x^2+y^2=1 contida no plano z=0 e percorrida no sentido anti-hordrio, et . a. 16pi b 8pi c 4pi d. pi e 2pi
Solução

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MiguelElite · Tutor por 8 anos
Responder
Para calcular a integral de linha dada sobre a circunferência x^2 + y^2 = 1 no plano z = 0, podemos usar coordenadas polares. Vamos parametrizar a circunferência como x = \cos(\theta), y = \sin(\theta), e z = 0, onde \theta varia de 0 a 2\pi.
A integral de linha se torna:
\oint_{C} (dx + x \, dy + y \, dz)
Substituindo as coordenadas polares, temos:
\oint_{C} (\cos(\theta) \, d\theta + \cos(\theta) \sin(\theta) \, d\theta + \sin(\theta) \, d\theta) = \oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta
Simplificando a expressão dentro da integral:
\oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta = \oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) + \sin(\theta) \, d\theta
Como \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) é uma função constante em relação a \theta, a integral se torna:
\oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) \, d\theta + \oint_{C} \sin(\theta) \, d\theta
A primeira integral é zero, pois é uma constante em relação a \theta, e a segunda integral é simplesmente a integral de \sin(\theta) de 0 a 2\pi, que é zero. Portanto, a integral de linha é zero.
Portanto, a resposta correta é:
e. 2\pi
A integral de linha se torna:
\oint_{C} (dx + x \, dy + y \, dz)
Substituindo as coordenadas polares, temos:
\oint_{C} (\cos(\theta) \, d\theta + \cos(\theta) \sin(\theta) \, d\theta + \sin(\theta) \, d\theta) = \oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta
Simplificando a expressão dentro da integral:
\oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta = \oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) + \sin(\theta) \, d\theta
Como \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) é uma função constante em relação a \theta, a integral se torna:
\oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) \, d\theta + \oint_{C} \sin(\theta) \, d\theta
A primeira integral é zero, pois é uma constante em relação a \theta, e a segunda integral é simplesmente a integral de \sin(\theta) de 0 a 2\pi, que é zero. Portanto, a integral de linha é zero.
Portanto, a resposta correta é:
e. 2\pi
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