integral oint _(z)dx+xdy+ydz calculada sobre a circunferéncia x^2+y^2=1 contida no plano z=0 e percorrida no sentido anti-hordrio, et . a. 16pi b 8pi c 4pi d. pi e 2pi

Para calcular a integral de linha dada sobre a circunferência $x^2 + y^2 = 1$ no plano $z = 0$, podemos usar coordenadas polares. Vamos parametrizar a circunferência como $x = \cos(\theta)$, $y = \sin(\theta)$, e $z = 0$, onde $\theta$ varia de $0$ a $2\pi$.

A integral de linha se torna:

$$\oint_{C} (dx + x \, dy + y \, dz)$$

Substituindo as coordenadas polares, temos:

$$\oint_{C} (\cos(\theta) \, d\theta + \cos(\theta) \sin(\theta) \, d\theta + \sin(\theta) \, d\theta) = \oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta$$

Simplificando a expressão dentro da integral:

$$\oint_{C} (\cos(\theta) + \cos(\theta) \sin(\theta) + \sin(\theta)) \, d\theta = \oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) + \sin(\theta) \, d\theta$$

Como $\cos(\theta) (1 + \sin(\theta))$ é uma função constante em relação a $\theta$, a integral se torna:

$$\oint_{C} \cos(\theta) (1 + \sin(\theta)) \, d\theta + \oint_{C} \sin(\theta) \, d\theta$$

A primeira integral é zero, pois é uma constante em relação a $\theta$, e a segunda integral é simplesmente a integral de $\sin(\theta)$ de $0$ a $2\pi$, que é zero. Portanto, a integral de linha é zero.

Portanto, a resposta correta é:

e. $2\pi$