Questão 7-Um flo cilindrico percorrido poruma corrente elétrica , porém de densidade i overrightarrow (J) não uniforme dada por overrightarrow (j)= ) (2I_(0))/(pi a^2)(1-(r^2)/(a^2)),pararleqslant a 0, parargeqslant a onde I_(0) é uma constante positiva a é o raio do fio er é a distância radial até 0 centro do fio. e)Determine o valor máximo do campo magnético no fio e faca um esboco do comportamento do campo magnético em todas as regioes em função der.

Para determinar o valor máximo do campo magnético no fio, precisamos utilizar a relação entre o campo magnético e a corrente elétrica em um fio cilíndrico. A fórmula para o campo magnético em um fio cilíndrico é dada por:<br /><br />$B(r) = \frac{\mu_0 J(r)}{2\pi r}$<br /><br />Onde $B(r)$ é o campo magnético em função da distância radial $r$ do centro do fio, $\mu_0$ é a permeabilidade do vácuo e $J(r)$ é a densidade de corrente.<br /><br />Substituindo a expressão dada para $\overrightarrow{J}$, temos:<br /><br />$B(r) = \frac{\mu_0}{2\pi r} \cdot \frac{2I_0}{\pi a^2} \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2})$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$B(r) = \frac{\mu_0 I_0}{\pi^2 a^2 r} \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2})$<br /><br />Para determinar o valor máximo do campo magnético, precisamos encontrar o valor máximo da expressão acima. Podemos fazer isso calculando a derivada da expressão em relação a $r$ e igualando-a a zero.<br /><br />Derivando em relação a $r$, temos:<br /><br />$\frac{dB(r)}{dr} = -\frac{\mu_0 I_0}{\pi^2 a^2 r^2} \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2}) - \frac{2\mu_0 I_0}{\pi^2 a^4} \cdot r$<br /><br />Igualando a derivada a zero, temos:<br /><br />$-\frac{\mu_0 I_0}{\pi^2 a^2 r^2} \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2}) - \frac{2\mu_0 I_0}{\pi^2 a^4} \cdot r = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\frac{2\mu_0 I_0}{\pi^2 a^4} \cdot r = \frac{\mu_0 I_0}{\pi^2 a^2 r^2} \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2})$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $\pi^2 a^2 r^2$, temos:<br /><br />$2\mu_0 I_0 \cdot a^2 \cdot r = \mu_0 I_0 \cdot (1 - \frac{r^2}{a^2})$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$2r = 1 - \frac{r^2}{a^2}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $a^2$, temos:<br /><br />$2r \cdot a^2 = a^2 - r^2$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$2r^3 + r^2 - a^2 = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação cúbica, encontramos o valor de $r$ que maximiza o campo magnético. Uma vez que temos o valor de $r$, podemos substituí-lo na expressão para $B(r)$ e calcular o valor máximo do campo magnético.<br /><br />Quanto ao comportamento do campo magnético em todas as regiões, podemos observar que o campo magnético é maior nos valores próximos ao centro do fio e diminui à medida que nos afastamos do centro. Isso ocorre porque a densidade de corrente é maior nos valores próximos ao centro do fio e diminui à medida que nos afastamos do centro. Portanto, o campo magnético é maior nos valores próximos ao centro do fio e diminui à medida que nos afastamos do centro.