1) Aplique 0 Teorema da Divergência para determinar o fluxo do campo elétrico overrightarrow (F)(x,y,z)=(x,-y,2z) através da superfície do cilindro x^2+y^2=9 para -2leqslant zleqslant Considere overrightarrow (n) a normal exterior.

Para aplicar o Teorema da Divergência e determinar o fluxo do campo elétrico através da superfície do cilindro, precisamos calcular a divergência do campo elétrico e integrá-la sobre a superfície.<br /><br />Dada a função do campo elétrico $\overrightarrow{F}(x,y,z) = (x,-y,2z)$, podemos calcular a divergência como:<br /><br />$\nabla \cdot \overrightarrow{F} = \frac{\partial}{\partial x}x + \frac{\partial}{\partial y}(-y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z) = 1 - 1 + 2 = 2$<br /><br />Agora, podemos calcular o fluxo através da superfície do cilindro $x^2 + y^2 = 9$ para $-2 \leq z \leq 2$ considerando $\overrightarrow{n}$ como a normal exterior:<br /><br />$\Phi = \int_{S} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS$<br /><br />Como a superfície é um cilindro, podemos parametrizá-la em coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$:<br /><br />$x = r\cos(\theta)$<br />$y = r\sin(\theta)$<br />$z = z$<br /><br />A normal exterior ao cilindro é dada por $\overrightarrow{n} = \frac{\overrightarrow{\nabla} \phi}{|\overrightarrow{\nabla} \phi|}$, onde $\phi$ é a função que define a superfície.<br /><br />$\overrightarrow{\nabla} \phi = (2x, 2y, 1)$<br /><br />$|\overrightarrow{\nabla} \phi| = \sqrt{(2x)^2 + (2y)^2 + 1^2} = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1} = \sqrt{4(r^2) + 1}$<br /><br />$\overrightarrow{n} = \frac{(2x, 2y, 1)}{\sqrt{4(r^2) + 1}}$<br /><br />Substituindo as coordenadas cilíndricas na função do campo elétrico:<br /><br />$\overrightarrow{F} = (r\cos(\theta), -r\sin(\theta), 2z)$<br /><br />$\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} = \frac{2r^2\cos^2(\theta) + 2r^2\sin^2(\theta) + 2z}{\sqrt{4r^2 + 1}} = \frac{2r^2 + 2z}{\sqrt{4r^2 + 1}}$<br /><br />Agora, podemos calcular o fluxo:<br /><br />$\Phi = \int_{S} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{n} \, dS = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{2r^2 + 2z}{\sqrt{4r^2 + 1}} \, d\theta \, dz$<br /><br />Como $r$ é constante ($r = 3$), podemos simplificar a integral:<br /><br />$\Phi = 2 \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{3^2 + 2z}{\sqrt{4(3^2) + 1}} \, d\theta \, dz$<br /><br />$\Phi = 2 \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{9 + 2z}{\sqrt{37}} \, d\theta \, dz$<br /><br />$\Phi = \frac{18}{\sqrt{37}} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{2\pi} (9 + 2z) \, d\theta \, dz$<br /><br />$\Phi = \frac{18}{\sqrt{37}} \int_{-2}^{2} (9 + 2z) \left( \int_{0}^{2\pi} d\theta \right) \, dz$<br /><br />$\Phi = \frac{18}{\sqrt{37}} \int_{-2}^{2} (9 + 2z) \cdot 2\pi \, dz$<br /><br />$\Phi = \frac{36\pi}{\sqrt{37}} \int_{-2}^{2} (9 + 2z) \, dz$<br /><br />$\Phi = \frac{36\pi}{\sqrt{37}} \left[ 9z + z^2 \right]_{-2}^{2}$<br /><br />$\Phi = \frac