(4) A expressão log_(2)5+log_(2)5^2+log_(2)5^3+ldots +log_(2)5^9+log_(2)5^10 é igual a: a) log_(2)5^11 b) 10log_(2)5 55log_(2)5 d) 110log_(2)5 e) log_(2)5^110

Para resolver essa expressão, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base. Aplicando essa propriedade, temos:<br /><br />$log_{2}5+log_{2}5^{2}+log_{2}5^{3}+\ldots +log_{2}5^{9}+log_{2}5^{10}$<br /><br />Isso se simplifica para:<br /><br />$log_{2}5 + 2log_{2}5 + 3log_{2}5 + \ldots + 9log_{2}5 + 10log_{2}5$<br /><br />Podemos observar que essa é uma soma de termos aritméticos, onde o primeiro termo é $log_{2}5$ e a razão é $log_{2}5$. O número de termos é 10.<br /><br />Usando a fórmula para a soma de termos aritméticos, temos:<br /><br />$S = \frac{n}{2}(2a + (n-1)r)$<br /><br />Onde n é o número de termos, a é o primeiro termo e r é a razão.<br /><br />Aplicando os valores, temos:<br /><br />$S = \frac{10}{2}(2log_{2}5 + (10-1)log_{2}5)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$S = 5(2log_{2}5 + 9log_{2}5)$<br /><br />$S = 5(11log_{2}5)$<br /><br />$S = 55log_{2}5$<br /><br />Portanto, a expressão é igual a $55log_{2}5$. A resposta correta é a opção c) $55log_{2}5$.