74 Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,0times 10^4 s em torno de um planeta de massa 7,00times 10^24kg .No afélio, a uma distância de 4,5times 10^7 m do centro do planeta, a ve- locidade angular do satélite é 7,158times 10^-5rad/s Qual é a veloci- dade angular do satélite no periélio?

Para determinar a velocidade angular do satélite no periélio, podemos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total de um satélite em órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional.<br /><br />A energia cinética (EK) é dada por:<br /><br />EK = (1/2) * m * v^2<br /><br />Onde m é a massa do satélite e v é a velocidade orbital.<br /><br />A energia potencial gravitacional (Epot) é dada por:<br /><br />Epot = -G * M * m / r<br /><br />Onde G é a constante gravitacional, M é a massa do planeta, m é a massa do satélite e r é a distância entre o centro do planeta e o satélite.<br /><br />No afélio, a energia mecânica total é:<br /><br />Etotal_áf = EK_áf + Epot_áf<br /><br />No periélio, a energia mecânica total é:<br /><br />Etotal_per = EK_per + Epot_per<br /><br />Como a energia mecânica total é conservada, temos:<br /><br />Etotal_áf = Etotals_per<br /><br />Substituindo as expressões para EK, Epot e Etotals, temos:<br /><br />(1/2) * m * v_áf^2 + (-G * M * m / r_áf) = (1/2) * m * v_per^2 + (-G * M * m / r_per)<br /><br />Simplificando a equação e rearranjando os termos, temos:<br /><br />G * M * m / r_áf + (1/2) * m * v_áf^2 = G * M * m / r_per + (1/2) * m * v_per^2<br /><br />Podemos cancelar a massa do satélite (m) dos dois lados da equação:<br /><br />G * M / r_áf + (1/2) * v_áf^2 = G * M / r_per + (1/2) * v_per^2<br /><br />Isso pode ser reescrito como:<br /><br />G * M / r_áf - G * M / r_per = (1/2) * v_per^2 - (1/2) * v_áf^2<br /><br />Fatorando G * M / r_per dos dois lados:<br /><br />G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) = (1/2) * v_per^2 - (1/2) * v_áf^2<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2:<br /><br />2 * G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) = v_per^2 - v_áf^2<br /><br />Isso pode ser reescrito como:<br /><br />v_per^2 = 2 * G * M / r_per * (1 / r_áf - 1 / r_per) + v_áf^2<br /><br />Substituindo os valores fornecidos:<br /><br />v_per^2 = 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (1 / 4,5 * 10^7 - 1 / 7,00 * 10^24) + (7,158 * 10^-5)^2<br /><br />v_per^2 ≈ 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (1 / 4,5 * 10^7 - 1 / 7,00 * 10^24) + 5,14 * 10^-10<br /><br />v_per^2 ≈ 2 * 6,67430 * 10^-11 * 7,00 * 10^24 / 4,5 * 10^7 * (-0,9999999999999999) + 5,14 * 10^-10<br /><br />v_per^2 ≈ -5,92 * 10^-8 + 5,14 * 10^-10<br /><br />v_per^2 ≈ -5,92 * 10^-8 + 5,14 * 10^-10<br /><br />v_per ≈ sqrt(5,92 * 10^-8)<br /><br />v_per ≈ 7,68 * 10^-4 rad/s<br /><br />Portanto, a velocidade angular do satélite no periélio é aproximadamente 7,68 * 10^-4 rad/s.