(ITA) Um jovem estudante, para fazer a barba mais eficientemente resolve comprar um espelho esférico que aumente duas vezes a imagem do seu rosto quando ele se coloca a 50cm dele. Que tipo de espelho ele deve usar e qual o raio de curvatura? a. Um espelho diferente dos mencionados. b. Convexo com r=50 cm. c. Convero com r=67 d. Côncavo com r=2,0 e. Côncovo com r=33 cm. Limpar minho escolha

Para resolver esse problema, precisamos usar a fórmula da ampliação de uma imagem formada por um espelho esférico. A fórmula é:<br /><br />\[ \text{Ampliação} = \frac{h_i}{h_o} = -\frac{m^2}{1+m^2} \]<br /><br />onde \( h_i \) é a altura da imagem, \( h_o \) é a altura do objeto (o rosto do estudante), e \( m \) é a distância focal do espelho.<br /><br />Para um espelho esférico, a distância focal \( f \) está relacionada ao raio de curvatura \( r \) pela fórmula:<br /><br />\[ f = \frac{r}{2} \]<br /><br />Dado que o espelho aumenta duas vezes a imagem quando o estudante está a 50 cm dele, a ampliação \( m \) é 2. Substituindo na fórmula da ampliação, temos:<br /><br />\[ 2 = -\frac{f^2}{1 + f^2} \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />\[ 2 = -\frac{\left(\frac{r}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{r}{2}\right)^2} \]<br /><br />\[ 2 = -\frac{r^2}{4(1 + \frac{r^2}{4})} \]<br /><br />\[ 2 = -\frac{r^2}{4 + r^2} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( 4 + r^2 \):<br /><br />\[ 2(4 + r^2) = -r^2 \]<br /><br />\[ 8 + 2r^2 = -r^2 \]<br /><br />\[ 3r^2 = -8 \]<br /><br />\[ r^2 = -\frac{8}{3} \]<br /><br />Como \( r^2 \) não pode ser negativo, isso indica que a solução não é possível com os tipos de espelhos mencionados. Portanto, a resposta correta é:<br /><br />a. Um espelho diferente dos mencionados.