3. Seja f:(0,+infty )arrow R dada por f(x)=sqrt (x) Prove que lim _(xarrow a)f(x)=sqrt (a) para agt 0

Para provar que $$\lim_{x \to a} f(x) = \sqrt{a}$$ para $$a > 0$$ , onde $$f(x) = \sqrt{x}$$ , podemos usar a definição de limite.

Dado que $$a > 0$$ , podemos escolher qualquer número positivo $$\epsilon$$ e encontrar um número positivo $$\delta$$ tal que se $$0 < x - a < \delta$$ , então $$|f(x) - \sqrt{a}| < \epsilon$$ .

Podemos escrever $$|f(x) - \sqrt{a}|$$ como $$|\sqrt{x} - \sqrt{a}|$$ . Usando a propriedade de radicais, podemos escrever isso como $$|\sqrt{x} - \sqrt{a}| = \frac{|x - a|}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}|}$$ .

Agora, podemos escolher $$\delta$$ tal que $$\frac{|x - a|}{|\sqrt{x} + \sqrt{a}|} < \epsilon$$ quando $$0 < x - a < \delta$$ . Como $$x$$ está no intervalo $$(0, +\infty)$$ , $$\sqrt{x} + \sqrt{a}$$ é sempre positivo. Portanto, podemos escolher $$\delta = \epsilon |\sqrt{x} + \sqrt{a}|$$ .

Assim, se $$0 < x - a < \delta$$ , então $$|f(x) - \sqrt{a}| < \epsilon$$ . Portanto, $$\lim_{x \to a} f(x) = \sqrt{a}$$ para $$a > 0$$ .