lim _(xarrow 1)(f(x)-f(1))/(x-1) em que f(x)= ) x+1&sexgeqslant 1 2x&sexlt 1

Para encontrar o limite da expressão dada, precisamos considerar o comportamento da função $f(x)$ em relação a $x$ quando $x$ se aproxima de 1.

A função $f(x)$ é definida da seguinte forma:
$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{se } x \geq 1 \\ 2x & \text{se } x < 1 \end{cases}$$

Queremos encontrar o limite da expressão:
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$$

Primeiro, calculamos $f(1)$:
$$f(1) = 1 + 1 = 2$$

Agora, substituímos $f(x)$ na expressão:
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1}$$

Para $x \geq 1$, temos $f(x) = x + 1$:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x + 1 - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1}$$

Para $x < 1$, temos $f(x) = 2x$:
$$\lim_{x \to 1} \frac{2x - 2}{x - 1}$$

Vamos analisar o limite de ambos os lados:

1. Para $x \to 1^+$ (quando $x$ se aproxima de 1 pela direita):
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} 1 = 1$$

2. Para $x \to 1^-$ (quando $x$ se aproxima de 1 pela esquerda):
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} 2 = 2$$

Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe. Portanto, a expressão não tem um limite definido.