int _(0)^2(3x)/((4+x^2))^(5)dx

Para resolver a integral \(\int_{0}^{2} \frac{3x}{(4+x^2)^5} \, dx\), podemos usar uma substituição adequada. Vamos fazer a substituição \( u = 4 + x^2 \).<br /><br />Primeiro, calculamos a derivada de \( u \) em relação a \( x \):<br />\[ u = 4 + x^2 \]<br />\[ \frac{du}{dx} = 2x \]<br />\[ du = 2x \, dx \]<br />\[ dx = \frac{du}{2x} \]<br /><br />Agora, substituímos \( u \) e \( dx \) na integral:<br />\[ \int_{0}^{2} \frac{3x}{(4+x^2)^5} \, dx = \int_{4}^{8} \frac{3x}{u^5} \cdot \frac{du}{2x} \]<br /><br />Simplificamos a expressão:<br />\[ \int_{4}^{8} \frac{3}{2u^5} \, du \]<br /><br />Podemos fatorar a constante \( \frac{3}{2} \) fora da integral:<br />\[ \frac{3}{2} \int_{4}^{8} u^{-5} \, du \]<br /><br />Agora, integramos \( u^{-5} \):<br />\[ \int u^{-5} \, du = \frac{u^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4u^4} \]<br /><br />Portanto, a integral se torna:<br />\[ \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{4u^4} \right]_{4}^{8} \]<br /><br />Calculamos os limites de integração:<br />\[ \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{4(8)^4} + \frac{1}{4(4)^4} \right) \]<br />\[ \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{4 \cdot 4096} + \frac{1}{4 \cdot 256} \right) \]<br />\[ \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{16384} + \frac{1}{1024} \right) \]<br />\[ \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{16384} + \frac{1024}{16384} \right) \]<br />\[ \frac{3}{2} \left( \frac{-1 + 1024}{16384} \right) \]<br />\[ \frac{3}{2} \left( \frac{1023}{16384} \right) \]<br />\[ \frac{3 \cdot 1023}{2 \cdot 16384} \]<br />\[ \frac{30729}{32768} \]<br /><br />Portanto, a resposta final é:<br />\[ \boxed{\frac{30729}{32768}} \]