2. Suponha que, no mesmo plano ry, os objetos A e B se movem de acordo com as equações de posição: overrightarrow (r)_(A)(t)=(2t+1)hat (i)+(4-t^2)hat (j) overrightarrow (r)_(B)(t)=(2t+1)hat (i)+(12-4t)hat (j) Nas equações, posição e tempo são dados em metros e segundos respectivamente. Sabendo disto: a. Determine as posições iniciais dos objetos A e B; b. Esboce as trajetórias dos dois objetos no plano cartesiano; c. Determine o tempo para o qual a distância entre A e B é mínima; d. Determine o valor da menor distância atingida.

a. Para determinar as posições iniciais dos objetos A e B, basta substituir t = 0 nas equações de posição:<br /><br />Para o objeto A:<br />$\overrightarrow {r}_{A}(0)=(2(0)+1)\hat {i}+(4-(0)^{2})\hat {j} = \hat{i}+4\hat{j}$<br /><br />Portanto, a posição inicial do objeto A é (1, 4).<br /><br />Para o objeto B:<br />$\overrightarrow {r}_{B}(0)=(2(0)+1)\hat {i}+(12-(4(0)))\hat {j} = \hat{i}+12\hat{j}$<br /><br />Portanto, a posição inicial do objeto B é (1, 12).<br /><br />b. Para esboçar as trajetórias dos dois objetos no plano cartesiano, basta plotar as equações de posição em um gráfico com as coordenadas x e y.<br /><br />A trajetória do objeto A será representada pela curva (2t+1, 4-t^2), enquanto a trajetória do objeto B será representada pela curva (2t+1, 12-4t).<br /><br />c. Para determinar o tempo para o qual a distância entre A e B é mínima, é necessário calcular a diferença entre as posições dos dois objetos e encontrar o valor de t que resulta na menor distância.<br /><br />A distância entre A e B é dada por:<br /><br />$d(t) = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$<br /><br />Substituindo as equações de posição, temos:<br /><br />$d(t) = \sqrt{((2t+1)-(2t+1))^{2}+((12-4t)-(4-t^{2}))^{2}}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$d(t) = \sqrt{(12-4t-(4-t^{2}))^{2}}$<br /><br />Para encontrar o valor de t que resulta na menor distância, é necessário calcular a derivada de d(t) em relação a t e igualar o resultado a zero:<br /><br />$d'(t) = \frac{1}{2\sqrt{(12-4t-(4-t^{2}))^{2}}}\cdot 2(12-4t-2t(4-t^{2}))$<br /><br />Igualando a derivada a zero e resolvendo a equação, encontramos o valor de t que resulta na menor distância.<br /><br />d. Para determinar o valor da menor distância atingida, basta substituir o valor de t encontrado na parte c) nas equações de posição dos objetos A e B e calcular a distância entre eles.<br /><br />Substituindo o valor de t encontrado na parte c) nas equações de posição, temos:<br /><br />$\overrightarrow {r}_{A}(t_{min}) = (2t_{min}+1)\hat {i}+(4-t_{min}^{2})\hat {j}$<br /><br />$\overrightarrow {r}_{B}(t_{min}) = (2t_{min}+1)\hat {i}+(12-4t_{min})\hat {j}$<br /><br />Calculando a distância entre A e B, temos:<br /><br />$d_{min} = \sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$<br /><br />Substituindo as coordenadas encontradas, temos:<br /><br />$d_{min} = \sqrt{((2t_{min}+1)-(2t_{min}+1))^{2}+((12-4t_{min})-(4-t_{min}^{2}))^{2}}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$d_{min} = \sqrt{(12-4t_{min}-(4-t_{min}^{2}))^{2}}$<br /><br />Portanto, o valor da menor distância atingida é dado por $d_{min}$.