se log_(3)(x-y)=5 e log_(5)(x+y)=3 então log_(3)(x-y) é igual a: a) 9 b) 4+log_(5)5 c) 8 d) 2+log_(2)10 e) 10

Para resolver essa questão, podemos usar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />Dado que $log_{3}(x-y)=5$ e $log_{5}(x+y)=3$, podemos reescrever essas equações em termos de exponenciação:<br /><br />$3^{5} = x - y$ e $5^{3} = x + y$<br /><br />Agora, podemos somar essas duas equações para eliminar o termo $y$:<br /><br />$3^{5} + 5^{3} = (x - y) + (x + y)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$3^{5} + 5^{3} = 2x$<br /><br />Agora, podemos resolver para $x$:<br /><br />$x = \frac{3^{5} + 5^{3}}{2}$<br /><br />Substituindo esse valor de $x$ na primeira equação, temos:<br /><br />$log_{3}(\frac{3^{5} + 5^{3}}{2} - y) = 5$<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar a propriedade do logaritmo de uma fração:<br /><br />$log_{3}(\frac{3^{5} + 5^{3}}{2} - y) = log_{3}(\frac{3^{5} + 5^{3}}{2}) - log_{3}(1 - \frac{y}{2})$<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade do logaritmo de uma potência:<br /><br />$log_{3}(\frac{3^{5} + 5^{3}}{2}) = log_{3}(3^{5}) + log_{3}(5^{3})$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$log_{3}(3^{5}) + log_{3}(5^{3}) = 5log_{3}(3) + 3log_{3}(5)$<br /><br />Como $log_{3}(3) = 1$ e $log_{3}(5)$ é uma constante, podemos simplificar ainda mais:<br /><br />$5 + 3log_{3}(5) = 5 + 3 \cdot 1.46497 \approx 5 + 4.39491 \approx 9.39491$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção a) 9.