Questão 41. Se x=9log_(120)2+3log_(120)3+2log_(14400)125 podemos afirmar que A ( )x=2 B ( ( )x=3 C ( )x=4 D ( )x=5 E ( )x=6

Para resolver essa questão, vamos simplificar a expressão dada para encontrar o valor de x.<br /><br />Dado que $x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\log_{14400}125$, podemos usar as propriedades dos logaritmos para simplificar essa expressão.<br /><br />Primeiro, vamos simplificar $\log_{120}2$ e $\log_{120}3$ usando a mudança de base dos logaritmos:<br /><br />$\log_{120}2 = \frac{\log_{10}2}{\log_{10}120}$<br />$\log_{120}3 = \frac{\log_{10}3}{\log_{10}120}$<br /><br />Substituindo essas expressões na equação original, temos:<br /><br />$x = 9\left(\frac{\log_{10}2}{\log_{10}120}\right) + 3\left(\frac{\log_{10}3}{\log_{10}120}\right) + 2\log_{14400}125$<br /><br />Agora, vamos simplificar $\log_{14400}125$ usando a mudança de base dos logaritmos:<br /><br />$\log_{14400}125 = \frac{\log_{10}125}{\log_{10}14400}$<br /><br />Substituindo essa expressão na equação original, temos:<br /><br />$x = 9\left(\frac{\log_{10}2}{\log_{10}120}\right) + 3\left(\frac{\log_{10}3}{\log_{10}120}\right) + 2\left(\frac{\log_{10}125}{\log_{10}14400}\right)$<br /><br />Agora, vamos simplificar cada termo separadamente:<br /><br />$9\left(\frac{\log_{10}2}{\log_{10}120}\right) = \frac{9\log_{10}2}{\log_{10}120}$<br />$3\left(\frac{\log_{10}3}{\log_{10}120}\right) = \frac{3\log_{10}3}{\log_{10}120}$<br />$2\left(\frac{\log_{10}125}{\log_{10}14400}\right) = \frac{2\log_{10}125}{\log_{10}14400}$<br /><br />Substituindo essas expressões na equação original, temos:<br /><br />$x = \frac{9\log_{10}2}{\log_{10}120} + \frac{3\log_{10}3}{\log_{10}120} + \frac{2\log_{10}125}{\log_{10}14400}$<br /><br />Agora, vamos simplificar cada termo:<br /><br />$\frac{9\log_{10}2}{\log_{10}120} = \frac{9\log_{10}2}{2\log_{10}6}$<br />$\frac{3\log_{10}3}{\log_{10}120} = \frac{3\log_{10}3}{2\log_{10}6}$<br />$\frac{2\log_{10}125}{\log_{10}14400} = \frac{2\log_{10}5^3}{4\log_{10}30}$<br /><br />Simplificando cada termo, temos:<br /><br />$\frac{9\log_{10}2}{2\log_{10}6} = \frac{9}{2}$<br />$\frac{3\log_{10}3}{2\log_{10}6} = \frac{3}{2}$<br />$\frac{2\log_{10}5^3}{4\log_{10}30} = \frac{3}{2}$<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é:<br /><br />$x = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 6$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção E: $x=6$.