int _(0)^13(dx)/(sqrt [3]((1+2x)^2))

Para resolver a integral \(\int_{0}^{13} \frac{dx}{\sqrt[3]{(1+2x)^{2}}}\), podemos fazer uma substituição adequada. Vamos usar a substituição \(u = 1 + 2x\). Então, \(du = 2dx\) ou \(dx = \frac{du}{2}\).<br /><br />Substituindo \(u\) e \(dx\) na integral, temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{13} \frac{dx}{\sqrt[3]{(1+2x)^{2}}} = \int_{1}^{27} \frac{1}{\sqrt[3]{u^2}} \cdot \frac{du}{2}<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{-\frac{2}{3}} \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral usando a fórmula da integral de uma potência:<br /><br />\[<br />\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C<br />\]<br /><br />Aplicando isso, temos:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \int_{1}^{27} u^{-\frac{2}{3}} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} \right]_{1}^{27}<br />\]<br /><br />Simplificando o expoente e o denominador, temos:<br /><br />\[<br />\frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} \right]_{1}^{27} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} \right]_{1}^{27}<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \left[ 3u^{\frac{1}{3}} \right]_{1}^{27}<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular os limites de integração:<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \left[ 3(27)^{\frac{1}{3}} - 3(1)^{\frac{1}{3}} \right]<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \left[ 3 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \right]<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \left[ 9 - 3 \right]<br />\]<br /><br />\[<br />= \frac{1}{2} \cdot 6 = 3<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral é \(3\).