Um quadrado ABCD tem vertices A=(2;5) e C=(4;1) Nessas condições, qual das alternativas a seguir representa a reta suporte da diagonal BD? A ) x=2t+5 y=t+4 com treal ... B ) x=2t+5 y=2t+4 com treal. C ) x=2t-5 y=t+4 com treal. ... D ) x=2t-5 y=4t-3 com treal. E ) x=2t+5 y=t-4 com treal

Para encontrar a reta de suporte da diagonal BD, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos B e D. Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos B e D.<br /><br />Como A e C são os vértices do quadrado, podemos encontrar as coordenadas dos outros vértices usando as propriedades dos quadrados. Sabemos que AB é paralelo a CD e BC é paralelo a AD. Portanto, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos para encontrar as coordenadas de B e D.<br /><br />A distância entre A e C é dada por:<br /><br />$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$<br /><br />Como ABCD é um quadrado, todos os lados têm o mesmo comprimento. Portanto, AB = CD = 2\sqrt{5}.<br /><br />Usando a fórmula da distância entre dois pontos, podemos encontrar as coordenadas de B:<br /><br />$AB = \sqrt{(x-2)^2 + (y-5)^2} = 2\sqrt{5}$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos as coordenadas de B: B = (5, 3).<br /><br />Da mesma forma, podemos encontrar as coordenadas de D:<br /><br />$CD = \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2} = 2\sqrt{5}$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos as coordenadas de D: D = (1, -1).<br /><br />Agora que temos as coordenadas de B e D, podemos encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. A fórmula da reta no plano cartesiano é dada por:<br /><br />$y - y_1 = m(x - x_1)$<br /><br />onde m é o coeficiente angular da reta e (x_1, y_1) é um ponto na reta.<br /><br />Podemos calcular o coeficiente angular m usando a fórmula:<br /><br />$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$<br /><br />Substituindo os valores das coordenadas de B e D, encontramos:<br /><br />$m = \frac{-1 - 3}{1 - 5} = \frac{-4}{-4} = 1$<br /><br />Usando a fórmula da reta, substituímos os valores de m, x_1, y_1 e x_2, y_2:<br /><br />$y - 3 = 1(x - 5)$<br /><br />Simplificando a equação, encontramos:<br /><br />$y - 3 = x - 5$<br /><br />$y = x - 2$<br /><br />Portanto, a reta de suporte da diagonal BD é representada pela alternativa E: $\{ \begin{matrix} x=2t+5\\ y=t-4\end{matrix} $ com treal.