230. (Unesp-SP) A altura y(t) de um projétil, lançado a 15 m do solo, numa região plana e horizontal.com velocidade vertical inicial 10m/s é dada por y(t)=-5t^2+10t+15 considerando t=0 como o instante do lançamento. A posição horizontal x(t) é dade por x(t)=10sqrt (3)t Determine a altura máxima e o alcance (deslocamento horizontal máximo) que o projetil atinge considerando que ele caia no solo.

Para determinar a altura máxima que o projétil atinge, podemos encontrar o valor máximo da função \( y(t) \). A função \( y(t) \) é uma parábola com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente do termo quadrático é negativo. O vértice da parábola representa o ponto mais alto da trajetória do projétil.<br /><br />A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola no formato \( y = ax^2 + bx + c \) é dada por \( x = -\frac{b}{2a} \). No nosso caso, a função \( y(t) \) é dada por \( y(t) = -5t^2 + 10t + 15 \), onde \( a = -5 \) e \( b = 10 \).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\( t = -\frac{10}{2(-5)} = 1 \)<br /><br />Agora, podemos substituir esse valor de \( t \) na função \( y(t) \) para encontrar a altura máxima:<br /><br />\( y(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 15 = -5 + 10 + 15 = 20 \)<br /><br />Portanto, a altura máxima que o projétil atinge é de 20 metros.<br /><br />Para determinar o alcance (deslocamento horizontal máximo) que o projétil atinge, podemos encontrar o valor de \( t \) quando \( y(t) = 0 \), ou seja, quando o projétil atinge o solo. Para isso, podemos resolver a equação \( y(t) = 0 \):<br /><br />\( -5t^2 + 10t + 15 = 0 \)<br /><br />Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)<br /><br />Substituindo os valores de \( a \), \( b \) e \( c \), temos:<br /><br />\( t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(-5)(15)}}{2(-5)} \)<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\( t = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 300}}{-10} \)<br /><br />\( t = \frac{-10 \pm \sqrt{400}}{-10} \)<br /><br />\( t = \frac{-10 \pm 20}{-10} \)<br /><br />Portanto, as soluções são \( t = 3 \) e \( t = -1 \). Como o tempo não pode ser negativo, descartamos \( t = -1 \).<br /><br />Agora, podemos substituir esse valor de \( t \) na função \( x(t) \) para encontrar o alcance:<br /><br />\( x(3) = 10\sqrt{3}(3) = 30\sqrt{3} \)<br /><br />Portanto, o alcance que o projétil atinge é de \( 30\sqrt{3} \) metros.