int _(y)xdx+(x^2+y+z)dy+xyzdz onde gamma (t)=(t,2t,1),0leqslant tleqslant 1

Para resolver a integral de linha dada, podemos usar a fórmula da integral de linha:<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{a}^{b} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$<br /><br />onde $\mathbf{F}$ é o campo vetorial dado, $\mathbf{r}(t)$ é a curva parametrizada e $\mathbf{r}'(t)$ é a derivada de $\mathbf{r}(t)$ em relação a $t$.<br /><br />No nosso caso, o campo vetorial é $\mathbf{F} = (x, x^2 + y + z, xyz)$ e a curva parametrizada é $\mathbf{r}(t) = (t, 2t, 1)$, onde $0 \leq t \leq 1$.<br /><br />Calculando a derivada de $\mathbf{r}(t)$ em relação a $t$, temos:<br /><br />$\mathbf{r}'(t) = (1, 2, 0)$<br /><br />Agora podemos calcular a integral de linha:<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) dt$<br /><br />Substituindo $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))$ e $\mathbf{r}'(t)$, temos:<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} (t, 2t + 1, 2t) \cdot (1, 2, 0) dt$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} (t + 4t + 2) dt$<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{1} (5t + 2) dt$<br /><br />Agora podemos calcular a integral:<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \left[ \frac{5t^2}{2} + 2t \right]_{0}^{1}$<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \frac{5}{2} + 2$<br /><br />$\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \frac{9}{2}$<br /><br />Portanto, o valor da integral de linha é $\frac{9}{2}$.