4) Calcule os limites a seguir a) lim _(xarrow 5)ln((x^2-25)/(2x^3)-18x^(2+46x-30))

Para calcular o limite da função dada, podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo antes de avaliar o limite.<br /><br />A expressão dentro do logaritmo é $\frac{x^2 - 25}{2x^3 - 18x^2 + 46x - 30}$. Podemos fatorar o numerador e o denominador:<br /><br />$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$<br /><br />$2x^3 - 18x^2 + 46x - 30 = 2(x - 5)(x - 3)(x - 1)$<br /><br />Agora, podemos simplificar a expressão:<br /><br />$\frac{x^2 - 25}{2x^3 - 18x^2 + 46x - 30} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{2(x - 5)(x - 3)(x - 1)}$<br /><br />Cancelando o fator $(x - 5)$, obtemos:<br /><br />$\frac{x + 5}{2(x - 3)(x - 1)}$<br /><br />Agora, podemos calcular o limite quando $x$ tende a 5:<br /><br />$\lim_{x \to 5} \ln\left(\frac{x + 5}{2(x - 3)(x - 1)}\right) = \ln\left(\frac{5 + 5}{2(5 - 3)(5 - 1)}\right) = \ln\left(\frac{10}{2 \cdot 2 \cdot 4}\right) = \ln\left(\frac{10}{16}\right) = \ln\left(\frac{5}{8}\right)$<br /><br />Portanto, o limite é $\ln\left(\frac{5}{8}\right)$.