TRABALHO QUESTÃO 02 - EUF 2023.2 Uma particula de massa m se move em duas dimensoes sob a ação da força F=a(4xyhat (x)+3y^2hat (y)) onde a é uma constante positiva. Determine o trabalho W realizado pela força F quando a particula se movimenta ao longo da parábola y=x^2/c da origem do sistema de coordenadas até a posição r=c(hat (x)+hat (y)) onde cé uma constante positiva. W=2ac^3 B W=ac^3 C W=3ac^3 D W=4ac^3 E W=5ac^3

Para determinar o trabalho realizado pela força F ao longo da parábola, podemos usar a fórmula do trabalho:<br /><br />$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$<br /><br />onde $\mathbf{F}$ é a força aplicada e $d\mathbf{r}$ é o vetor deslocamento ao longo da curva C.<br /><br />Dado que a força é dada por $\mathbf{F} = a(4xy\hat{x} + 3y^2\hat{y})$, podemos calcular o produto escalar entre $\mathbf{F}$ e $d\mathbf{r}$:<br /><br />$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = a(4xy\hat{x} + 3y^2\hat{y}) \cdot (dx\hat{x} + dy\hat{y})$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = a(4xydx + 3y^2dy)$<br /><br />Agora, podemos calcular o trabalho integrando essa expressão ao longo da parábola $y = \frac{x^2}{c}$:<br /><br />$W = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{c} a(4xydx + 3y^2dy)$<br /><br />Substituindo $y = \frac{x^2}{c}$, temos:<br /><br />$W = \int_{0}^{c} a(4x(\frac{x^2}{c})dx + 3(\frac{x^2}{c})^2dy)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$W = \int_{0}^{c} a(\frac{4x^3}{c}dx + \frac{3x^4}{c^2}dy)$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$W = a(\frac{4}{c}\int_{0}^{c} x^3dx + \frac{3}{c^2}\int_{0}^{c} x^4dy)$<br /><br />Calculando as integrais, temos:<br /><br />$W = a(\frac{4}{c} \cdot \frac{x^4}{4}\bigg|_0^c + \frac{3}{c^2} \cdot \frac{x^5}{5}\bigg|_0^c)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$W = a(\frac{4}{c} \cdot \frac{c^4}{4} + \frac{3}{c^2} \cdot \frac{c^5}{5})$<br /><br />$W = a(c^3 + \frac{3c^3}{5})$<br /><br />$W = a(\frac{8c^3}{5})$<br /><br />$W = \frac{8ac^3}{5}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção D: $W = 4ac^3$.