A integral dupla ê uma extensão natural da integral simples para funções de duas variaveis.permitindo o cálculo de volumes sob superficies emum plano. 0 concelto é amplamente utilizado em diversas freas da matemática e da fisica para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial. Fonte:STEWART 1. Cálculo:volume 2.. 6. ed. São Paulo:Cengage Learning , 2009. Desta forma, seja a região definida por D_(xy)= (x,y)in R:0leqslant xleqslant 4e0leqslant yleqslant 2 flx y==x^2y avalie as asserções a seguire a relação proposta entre elas: 1. 0 volume do sôlido acima da região D e abaixo da função f e 125/3 PORQUE II. Pelos dados fornecidos,a integral que resolve o volume deste sôlido é definida por: int _(0)^4int _(0)^2x^2ydydx A respeito dessas asserções., assinale a opção correta: ) A) As asserções I e ll são verdadeiras mas all não é uma justificativa correta da I. B) As asserções I e l| são falsas. C) As asserções I e : II são verdadeiras , eallêuma justificativa correta da I. D)A asserção l é uma proposição verdadeira , ealléuma proposição falsa. ) E)A asserção l é uma proposição falsa.eall éuma proposição verdadeira.

Question

Pergunta

A integral dupla ê uma extensão natural da integral simples para funções de duas variaveis.permitindo o cálculo de volumes sob superficies emum plano. 0 concelto é amplamente utilizado em diversas freas da matemática e da fisica para modelar fenômenos em que a dependência espacial é crucial. Fonte:STEWART 1. Cálculo:volume 2.. 6. ed. São Paulo:Cengage Learning , 2009. Desta forma, seja a região definida por D_(xy)= (x,y)in R:0leqslant xleqslant 4e0leqslant yleqslant 2 flx y==x^2y avalie as asserções a seguire a relação proposta entre elas: 1. 0 volume do sôlido acima da região D e abaixo da função f e 125/3 PORQUE II. Pelos dados fornecidos,a integral que resolve o volume deste sôlido é definida por: int _(0)^4int _(0)^2x^2ydydx A respeito dessas asserções., assinale a opção correta: ) A) As asserções I e ll são verdadeiras mas all não é uma justificativa correta da I. B) As asserções I e l| são falsas. C) As asserções I e : II são verdadeiras , eallêuma justificativa correta da I. D)A asserção l é uma proposição verdadeira , ealléuma proposição falsa. ) E)A asserção l é uma proposição falsa.eall éuma proposição verdadeira.

Answer 1

Para resolver o problema, precisamos calcular a integral dupla para encontrar o volume do sólido acima da região \( D \) e abaixo da função \( f(x, y) = x^2y \). A integral que resolve o volume é dada por: \[ \int_{0}^{4} \int_{0}^{2} x^2 y \, dy \, dx \] Primeiro, calculamos a integral interna em relação a \( y \): \[ \int_{0}^{2} x^2 y \, dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} = x^2 \cdot \frac{4}{2} = 2x^2 \] Agora, calculamos a integral externa em relação a \( x \): \[ \int_{0}^{4} 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = 2 \cdot \left( \frac{64}{3} \right) = \frac{128}{3} \] Portanto, o volume do sólido é \(\frac{128}{3}\), não \(\frac{125}{3}\). Assim, a asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira. A opção correta é: E) A asserção I é uma proposição falsa e II é uma proposição verdadeira.

Pergunta

Solução

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