Considere uma região D do plano cartesiano , na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto (x.y) é descrita pela função 6(x,y) Essa função continua e integrável no intervalo considerado.representa là quantidade de carga por unidade de área naquele ponto especifico.. A carga elementar correspondente a uma pequena frea dxdy em torno do ponto (x, y)é dada por 8(x,y) dxdy.A carga total distribuída na região D pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área.conforme a expressão: Q=iint _(D)s(x,y)dxdy Fonte:SILVA, M. C.Calculo Avangado e Aplicações Rio de Janeiro:Editora . Ciência Moderna., 2015. Sendo assim, dada uma região D correspondente I a um re retângulo, conforme Ilustração a seguir: A distribuição de carga elétrica nessa frea é descrita pela função densidade 8(x-y)=9x^2y^2 , expressa em Coulombs por metro quadrado (cm^2) Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a carga total acumulada na região:

Para calcular a carga total acumulada na região D, precisamos integrar a função de densidade de carga elétrica \( \sigma(x, y) = 9x^2y^2 \) sobre a área do retângulo. A integral dupla é dada por:<br /><br />\[ Q = \iint_{D} 9x^2y^2 \, dx \, dy \]<br /><br />Supondo que o retângulo D tem limites \( a \leq x \leq b \) e \( c \leq y \leq d \), a integral se torna:<br /><br />\[ Q = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} 9x^2y^2 \, dx \, dy \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{a}^{b} 9x^2y^2 \, dx = 9y^2 \int_{a}^{b} x^2 \, dx = 9y^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{a}^{b} = 9y^2 \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ Q = \int_{c}^{d} 9y^2 \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \, dy = \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \int_{c}^{d} 9y^2 \, dy \]<br /><br />\[ = \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \left[ \frac{9y^3}{3} \right]_{c}^{d} = \left( \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \right) \left( 3(d^3 - c^3) \right) \]<br /><br />\[ = \left( b^3 - a^3 \right) (d^3 - c^3) \]<br /><br />Portanto, a carga total acumulada na região é dada por \( (b^3 - a^3)(d^3 - c^3) \). Para obter o valor numérico exato, substitua os valores dos limites \( a, b, c, \) e \( d \) conforme especificado no problema.